Question

如圖，AB為等腰直角△ABC的斜邊（AB為定長線段），O為AB的中點(diǎn)，P為AC延長線上的一
個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段PB的垂直平分線交線段OC于點(diǎn)E，D為垂足，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①E為△ABP的外心；  ②△PBE為等腰直角三角形；
③PC·OA = OE·PB；   ④CE + PC的值不變.
A．1個(gè)       B．2個(gè)   Ｃ．3個(gè)        D．4個(gè)

Answer 1

C

解：①∵CO為等腰Rt△ABC斜邊AB上的中線，
∴CO垂直平分AB；
又∵DE平分PB，即E點(diǎn)是AB、BP兩邊中垂線的交點(diǎn)，
∴E點(diǎn)是△ABP的外心，故①正確；
②如圖，連接AE；

由①知：AE=EP=EB，則∠EAP=∠EPA，∠EPB=∠EBP，∠EAB=∠EBA；
∵∠PAB=45°，即∠EAP+∠EPA+∠EAB+∠EBA=2（∠EAP+∠EAB）=2∠PAB=90°，
由三角形內(nèi)角和定理知：∠EPB+∠EBP=90°，即∠EPB=∠EBP=45°，
∴△PEB是等腰直角三角形；故②正確；
③∵∠PBE=∠ABC=45°，
∴∠EBO=∠PBC=45°-∠CBE，
又∵∠EOB=∠PCB=90°，
∴△BPC∽△BEO，得：PC/OE ="BC/OB" ，即PC•OB=OE•BC?PC•OA=OE•BC；
故③錯(cuò)誤；
④過E作EM⊥OC，交AC于M；
易知：△EMC是等腰直角三角形，即MC=EC，∠PME=45°；
∴∠PEM=∠BEC=90°+∠PEC，
又∵EC=ME，PE=BE，
∴△PME≌△BCE（SAS），得PM=BC，即PM是定值；
由于PM=CM+PC=EC+PC，所以CE+PC的值不變，故④正確；
因此正確的結(jié)論是①②④，故選C．