Question

17．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M在AB邊上，DM⊥AB于M，延長(zhǎng)ME交射線CD于點(diǎn)N，連接MD，AN．求證：AD=MN．

Answer 1

分析 由在?ABCD中，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，即可證得△DNE≌△AME，則可得DN=AM，又由DN∥AM，即可得四邊形AMDN是平行四邊形，再結(jié)合已知條件DM⊥AB于M，可證明AMDN是矩形，由矩形的性質(zhì)即可證明AD=MN．

解答 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
即DN∥AM，
∴∠DNE=∠AME，
∵點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，
∴DE=AE，
∵在△DNE和△AME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DNE=∠AME}\\{∠DEN=∠AEM}\\{DE=AE}\end{array}\right.$，
∴△DNE≌△AME（AAS），
∴DN=AM，
∴四邊形AMDN是平行四邊形，
∵DM⊥AB于M，
∴四邊形AMDN是矩形，
∴AD=MN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定、以及全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握特殊圖形的判定以及重要的性質(zhì)．