Question

閱讀下面材料：
對(duì)于平面圖形A，如果存在一個(gè)圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到圓心的距離都不大于這個(gè)圓的半徑，則稱圖形A被這個(gè)圓所覆蓋．
對(duì)于平面圖形A，如果存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到其中某個(gè)圓的圓心的距離都不大于這個(gè)圓的半徑，則稱圖形A被這些圓所覆蓋．
例如：圖甲中的三角形被一個(gè)圓所覆蓋，圖乙中的四邊形被兩個(gè)圓所覆蓋．

回答下列問(wèn)題：
（1）邊長(zhǎng)為1cm的正方形被一個(gè)半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是

 

cm；
（2）邊長(zhǎng)為1cm的等邊三角形被一個(gè)半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是

 

cm；
（3）長(zhǎng)為2cm，寬為1cm的矩形被兩個(gè)半徑都為r的圓所覆蓋，r的最小值是

 

cm．

Answer 1

分析：（1）邊長(zhǎng)為1的正方形被一個(gè)半徑為r的圓所覆蓋，則圓的最小直徑等于正方形的對(duì)角線，這樣可以求出半徑的最小值．
（2）作出圖形，連接OB，并過(guò)點(diǎn)O作BC的垂線，得到直角三角形，在直角三角形中用三角函數(shù)求出半徑的最小值．
（3）長(zhǎng)為2cm，寬為1cm的矩形被兩個(gè)等圓覆蓋，兩個(gè)圓內(nèi)覆蓋的部分分別是兩個(gè)正方形，且這兩個(gè)正方形分別內(nèi)接于兩圓時(shí)半徑最小，在直角三角形中求出最小的半徑．

解答：解：（1）因?yàn)檎�方形的邊長(zhǎng)為1，所以對(duì)角線為

2

，最小圓的直徑為

2

，因此r的最小值是

2

2

．

（2）如圖：正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，當(dāng)△ABC內(nèi)接于⊙O時(shí)，圓的半徑最�。�
連接OB，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，則在直角△BOD中，BD=

1

2

，∠OBD=30°，
cos30°=

BD

OB

，得：OB=

BD

cos30°

=

1 2

3 2

=

3

3

．
因此r的最小值是

3

3

．

（3）如圖：ABCD被⊙O和⊙M覆蓋，兩圓的公共弦為EF，
AB=1，AD=2，如上圖所示時(shí)，兩圓的半徑最�。�
連接OA，OE，則△AOE是等腰直角三角形，AE=1，所以O(shè)A=

2

2

．
因此r的最小值是

2

2

．
故答案分別是：

2

2

，

3

3

，

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是正多邊形和圓，（1）利用圓的內(nèi)接正方形進(jìn)行計(jì)算求出半徑的最小值．（2）利用圓的內(nèi)接正三角形進(jìn)行計(jì)算求出半徑的最小值．（3）把矩形分成兩個(gè)正方形，這兩個(gè)正方形分別被兩等圓覆蓋，當(dāng)這兩個(gè)正方形分別是這兩個(gè)圓的內(nèi)接正方形時(shí)半徑最小，利用直角三角形求出最小半徑．