Question

△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，CF交BE于G．
（1）如圖1，若AB=AC=BC=2，求S_△ABC•S_△GBC；
（2）如圖2，若AB=AC，BC=2，猜想S_△ABC•S_△GBC的值會等于（1）中值嗎？說明理由．
（3）如圖3，若D為BC上一點，BD=m，CD=n，猜想S_△ABC•S_△GBC的值會隨著A點的上下移動而變化嗎？說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB=BC=AC=2，BE⊥AC，
∴AE=CE=1，
由勾股定理得：BE==，
∴S_△ABC=AC×BE=×2×=，
∴S_△BEC=S_△ABC=，
連接EF，
∵AE=CE，AF=BF，
∴EF∥BC，EF=BC，
∴=，
∴S_△BCG=S_△BEC=，
∴S_△ABC•S_△GBC=1．

（2）還等于1，
理由是：作直線AG交BC于D，
則AD⊥BC，
由三角形的面積公式得：S_△ABC•S_△GCB=BC×AD•BC•DG=AD•DG，
∵AD⊥BC，CF⊥AB，
∴∠AFC=△ADC=90°，
∴A F D C四點共圓，
∴∠BAD=∠GCB，
∵∠ADC=∠ADC=90°，
∴△GDC∽△CDA，
∴=，
∴AD•DG=CD²=1²=1，
∴S_△ABC•S_△GBC=1．

（3）不發(fā)生變化，等于（m+n）mm，
由（2）可知S_△ABC•S_△GBC=BC×AD×BC×GD=（m+n）AD•GD，
由（2）可知∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠GCD，
∴△ADB∽△CDG，
∴=，
∴AD•DG=DC•BD=mn，
∴S_△ABC•S_△GBC=（m+n）mn．
不管A怎樣變換，兩三角形的面積的積不變，永遠等于（m+n）mm
分析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和勾股定理求出BE，根據(jù)三角形的中位線求出BG=2EG，根據(jù)等底等高的三角形面積求出△GBC即可；
（2）根據(jù)三角形的面積公式求出面積，證△GDC∽△CDA，求出AD•DG即可；
（3）證△ADB和△CDG相似，求出AD•CD即可．
點評：本題主要考查對等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中位線，相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識點的理解和掌握，能綜合運用性質(zhì)進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．