Question

14．如圖1，拋物線L：y=ax²+2（a-1）x-4（常數(shù)a＞0）經(jīng)過點A（-2，0）和點B（0，-4），與x軸的正半軸交于點E，過點B作BC⊥y軸，交L于點C，以O(shè)B，BC為邊作矩形OBCD．
（1）當x=2時，L取得最低點，求L的解析式．
（2）用含a的代數(shù)式分別表示點C和點E的坐標；
（3）當S_矩形OBCD=4時，求a的值．
（4）如圖2，作射線AB，OC，當AB∥OC時，將矩形OBCD從點O沿射線OC方向平移，平移后對應(yīng)的矩形記作O′B′C′D′，直接寫出點A到直線BD′的最大距離．

Answer 1

分析 （1）利用頂點坐標公式，列出方程即可解決問題．
（2）由BC⊥y軸，B（0，-4），設(shè)點C坐標為C（m，-4）（其中m≠0），代入L，得-4=am²+2（a-1）m-4，解得，m=$\frac{2}{a}$-2，可得點C坐標，因為點A與點E關(guān)于L的對稱軸x=$\frac{1}{a}$-1對稱，A（-2，0），設(shè)點E的坐標是（n，0）（其中n＞0），可得$\frac{1}{a}$-1-（-2）=n-（$\frac{1}{a}$-1），解得 n=$\frac{2}{a}$，由此即可求出點E坐標．
（3））由題意S_矩形OBCD=4•|$\frac{2}{a}$-2|=4，可得|$\frac{2}{a}$-2|=1，分兩種情形①當矩形OBCD在y軸右側(cè)時．②當矩形OBCD在y軸左側(cè)時．分別求解即可．
（4）由圖象可知，當AB⊥BD′時，點A到直線BD′的距離最大．

解答 解：（1）拋物線L的對稱軸是x=-$\frac{2（a-1）}{2a}$，∴x=$\frac{1}{a}$-1，
∵當x=2時，L取得最低點，則$\frac{1}{a}$-1=2，
∴a=$\frac{1}{3}$，
∴L的解析式為：y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-4．

（2）∵在L上，且BC⊥y軸，B（0，-4），
∴設(shè)點C坐標為C（m，-4）（其中m≠0），代入L，
-4=am²+2（a-1）m-4，解得，m=$\frac{2}{a}$-2，
∴點C的坐標是（$\frac{2}{a}$-2，-4），
∵點A與點E關(guān)于L的對稱軸x=$\frac{1}{a}$-1對稱，A（-2，0），
設(shè)點E的坐標是（n，0）（其中n＞0），
∴$\frac{1}{a}$-1-（-2）=n-（$\frac{1}{a}$-1），解得 n=$\frac{2}{a}$，
∴點E的坐標是（$\frac{2}{a}$，0）．

（3）∵S_矩形OBCD=4•|$\frac{2}{a}$-2|=4，
∴|$\frac{2}{a}$-2|=1，
當矩形OBCD在y軸右側(cè)時，0＜a＜1，有$\frac{2}{a}$-2=1，解得a=$\frac{2}{3}$； 
當矩形OBCD在y軸左側(cè)時，a＞1，有$\frac{2}{a}$-2=-1，解得a=2．


（4）由圖象可知，當AB⊥BD′時，點A到直線BD′的距離最大，最大距離為AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、頂點坐標公式、矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是學會構(gòu)建方程解決問題，靈活運用所學知識，學會用分類討論的思想思考問題，注意不能漏解，屬于中考壓軸題．