Question

如圖，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，2）在反比例函數(shù)y=

k1

x

（x＞0）的圖象上．過點(diǎn)A作x軸的平行線，與y軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)y=

k2

x

（x＜0）的圖象交于點(diǎn)C，且

AB

BC

=

4

3

．
（1）k₂的值為

 

；
（2）點(diǎn)P（0，a）是y軸上一點(diǎn)，連結(jié)PA．將線段PA繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，所得的像為PA′．若PA′與反比例函數(shù)y=

k1

x

（x＞0）或y=

k2

x

（x＜0）的圖象有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：分類討論

分析：（1）由條件易求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法就可解決問題．
（2）根據(jù)點(diǎn)A′相對于y軸的不同位置進(jìn)行討論，通過三角形全等求出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，然后考慮點(diǎn)A′剛好落到反比例函數(shù)圖象上時(shí)對應(yīng)的a的值，就可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）如圖1，
∵點(diǎn)A（2，2），∴AB=2．
∵

AB

BC

=

4

3

，∴BC=

3

2

．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-

3

2

，2）．
∵點(diǎn)C（-

3

2

，2）在反比例函數(shù)y=

k2

x

（x＜0）圖象上，
∴k₂=-

3

2

×2=-3．
故答案為：-3．

（2）①當(dāng)點(diǎn)A′在y軸的右側(cè)時(shí)，
此時(shí)a＞2．
過點(diǎn)A′作A′E⊥OB于E，如圖2．
∵AB⊥OB，A′E⊥OB，∠APA′=90°，
∴∠ABP=∠A′EP=∠APA′=90°．
∴∠APB=90°-∠A′PE=∠EA′P．
在△ABP和△PEA′中，

∠APB=∠EA′P′ ∠ABP=∠PEA′ AP=PA′

．
∴△ABP≌△PEA′．
∴AB=PE，BP=EA′．
∵A（2，2），P（0，a），
∴PE=AB=2，EA′=BP=a-2．
∴OE=OP+PE=a+2．
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（a-2，a+2）．
當(dāng)A′（a-2，a+2）在反比例函數(shù)y=

k1

x

（x＞0）的圖象上時(shí)，如圖2．
∵A（2，2）在反比例函數(shù)y=

k1

x

（x＞0）的圖象上，
∴k₁=2×2=4．
∴（a-2）（a+2）=4．
解得：a=±2

2

．
∵a＞2，∴a=2

2

．
②當(dāng)點(diǎn)A′在y軸上時(shí)，
此時(shí)a=2，點(diǎn)A′與兩函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，故舍去．
③當(dāng)點(diǎn)A′在y軸的左側(cè)時(shí)，
此時(shí)a＜2．
Ⅰ．0≤a＜2，
當(dāng)A′（a-2，a+2）在反比例函數(shù)y=-

3

x

（x＜0）的圖象上時(shí)，
過點(diǎn)A′作A′E⊥OB于E，如圖3．
同理可得：A′的坐標(biāo)為（a-2，a+2）．
∵A′（a-2，a+2）在反比例函數(shù)y=-

3

x

（x＜0）的圖象上，
∴（a-2）（a+2）=-3．
解得：a=±1．
∵0≤a＜2，∴a=1．
Ⅱ．a(chǎn)＜0，
當(dāng)A′（a-2，a+2）在反比例函數(shù)y=-

3

x

（x＜0）的圖象上時(shí)，
過點(diǎn)A′作A′E⊥OB于E，如圖4．
同理可得：A′的坐標(biāo)為（a-2，a+2）．
∵A′（a-2，a+2）在反比例函數(shù)y=-

3

x

（x＜0）的圖象上，
∴（a-2）（a+2）=-3．
解得：a=±1．
∵a＜0，∴a=-1．
綜上所述：符合要求的a的取值范圍是a≥2

2

或-1≤a≤1．
故答案為：a≥2

2

或-1≤a≤1．

點(diǎn)評：本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，而合理分類及考慮臨界位置是解決本題的關(guān)鍵．