Question

如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3cm，OB=4cm，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)P、Q分別為AB、OB邊上的動(dòng)點(diǎn)它們同時(shí)分別從點(diǎn)A、O向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，速度均為1cm/秒，設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0≤t≤4）
（1）AB的長(zhǎng)為

 

cm．
（2）過(guò)點(diǎn)P做PM⊥OA于M，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為

 

（用含t的代數(shù)式表示）．
（3）求△OPQ面積S（cm²）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值？最大是多少？
（4）探究△OPQ能否為直角三角形，若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理可以求出AB的長(zhǎng)．
（2）根據(jù)△APM∽△ABO，可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）過(guò)點(diǎn)P作PN⊥OQ于點(diǎn)N，得到S與t的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出S的最大值以及對(duì)應(yīng)的t值．
（4）分別以∠OPQ=90°和∠OQP=90°確定t的值．

解答：解：（1）∵OA=3cm，OB=4cm，
∴AB=

9+16

=5cm．

（2）∵△APM∽△ABO，
∴

MP

AP

=

OB

AB

=

AM

AO

，
∴MP=

4t

5

，AM=

3t

5

，
∴P（

4t

5

，3-

3t

5

）．

（3）如圖：
過(guò)點(diǎn)P作PN⊥OQ于點(diǎn)N，則PN=3-

3t

5

，
S=

1

2

OQ•PN
=

1

2

t（3-

3t

5

）
=-

3

10

t²+

3

2

t
∵a=-

3

10

＜0，
∴當(dāng)t=

5

2

時(shí)，S有最大值，且S_最大值=

15

8

．

（4）△OPQ能成為直角三角形．
∵∠POQ＜90°，OQ=t＞ON，∠OQP＜90°，
∴只有∠OPQ可能是90°，
當(dāng)∠OPQ=90°時(shí)，
△OPN∽△PQN，
∴

PN

ON

=

NQ

PN

，
∴PN²=ON•NQ
即：(3-

3t

5

)2=

4t

5

×

t

5

，
解得：t₁=3，t₂=15，
∵OB=4＜15，
∴t=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，（1）利用勾股定理求出線(xiàn)段AB的長(zhǎng)．（2）利用相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）用三角形的面積公式求出二次函數(shù)，并利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定S的最大值和對(duì)應(yīng)的t值．（4）先確定可能是90°的角，然后用相似三角形的性質(zhì)求出t值．