Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 與x軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C，連結(jié)BC．點(diǎn)M是拋物線上A,C之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥BC，分別交x軸、拋物線于D，N，過點(diǎn)M作EF⊥x軸，垂足為F，并交直線BC于點(diǎn)E，
（1）求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo).
（2）當(dāng)點(diǎn)M恰好是EF的中點(diǎn)，求BD的長.
（3）連接DE,記△DEM,△BDE的面積分別為S1,S2 ，當(dāng)BD=1時(shí)，請(qǐng)求S2-S1的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線 y=x2+2x+3 與x軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），
∴令y=0，即x2+2x+3 =0，
∴x1=-1,x2=3，
∴A（-1,0） ，B（3,0），
又∵拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，
∴C（0,3），
（2）解：設(shè)BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，
∵ B（3,0）， C（0,3），

∴,
,
∴BC的函數(shù)解析式為：y=-x+3，
∵點(diǎn)M是拋物線上A,C之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè) M(m,m2+2m+3) （-1m0），則 E(m,m+3)，F(xiàn)（m,0），
∴EF=-m+3，MF=m2+2m+3，
又∵M(jìn)為EF中點(diǎn)，
∴ 2（m2+2m+3）=m+3 ，
∴ m1=3，m2=，
又∵-1m0，
∴m=，

∴F（-，0），
∴BF=3-（-）=，
又∵M(jìn)D∥BC，
∴D為BF的中點(diǎn)，
∴ BD=BF=×=.
（3）解：由圖形可知，D在B點(diǎn)左側(cè)，當(dāng)BD=1時(shí)，D點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0），
由（2）知BC的函數(shù)解析式為：y=-x+3，
又∵M(jìn)D∥BC，
∴MD的函數(shù)解析式為： y=x+2 .
∴，
解得： x1=，x2=（舍去），
∴M (,) ，E (，) ，
∴ME=1，DF= ，EF= .
∴ S2S1=×1××1×= .

【解析】（1）根據(jù)拋物線 y=x2+2x+3 與x軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C，分別令x=0，y=0即可求出A ，B，C坐標(biāo).
（2）由B、C的坐標(biāo)用待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式，由點(diǎn)M是拋物線上A,C之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可設(shè) M(m,m2+2m+3) （-1m0），則 E(m,m+3)，F(xiàn)（m,0），從而得到EF，MF的長，再由M為EF中點(diǎn)可得關(guān)于m的關(guān)系式，從而求出m，得出BF的長，再由MD∥BC，根據(jù)三角形中位線定理得出D為BF的中點(diǎn)，即BD=BF即可求得其值.
（3）由圖形可知，D在B點(diǎn)左側(cè)，當(dāng)BD=1時(shí)，D點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0），由（2）知BC的函數(shù)解析式為：y=-x+3，根據(jù)MD∥BC得出MD的函數(shù)解析式為： y=x+2 ；再將MD解析式和拋物線聯(lián)立求出M點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出E點(diǎn)坐標(biāo)，由坐標(biāo)得出ME，DF ，EF的長；再根據(jù)三角形面積公式得出S2S1值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達(dá)式和三角形的面積的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；三角形的面積=1/2×底×高才能正確解答此題．