Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)P是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AP=AC．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若PD=1，求⊙O的直徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OA，根據(jù)圓周角定理首先求得∠AOC的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠OAP=90°，從而求解；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，直角三角形中30°所對(duì)的邊等于斜邊的一半，即可求解．

解答：（1）證明：連接OA，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切線．

（2）設(shè)該圓的半徑為x．
在Rt△OAP中，∵∠P=30°，
∴PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，
∴1+x=2x，
解得：x=1
∴OA=PD=1，
所以⊙O的直徑為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．