Question

12．如圖，已知在直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的直角腰在y軸上，底邊OC在x軸上，且∠BCO=45°，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，4）．
（1）直接寫出點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)為A（0，4），C（7，0）；
（2）以動點(diǎn)P為圓心，以1個單位長為半徑的⊙P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿O-A-B的路線向點(diǎn)B運(yùn)動；同時點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時，點(diǎn)P和點(diǎn)D都停止運(yùn)動．在運(yùn)動過程中，設(shè)動點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒．
①當(dāng)t為何值時，⊙P與BC所在的直線相切？
②當(dāng)t為何值時，以B、P、D為頂點(diǎn)的三角形的面積為8？

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作BM⊥OC于M．求出OA、OC的長即可解決問題．
（2）①如圖2中，設(shè)經(jīng)過t秒，⊙P與BC所在的直線相切于點(diǎn)F，連結(jié)PF，由勾股定理可求出PB=$\sqrt{2}$，根據(jù)t=OA+AB-PB=（7-$\sqrt{2}$）秒，即可解決問題．
②如圖3中，當(dāng)P在OA上運(yùn)動時，0≤t＜4．根據(jù)S_△BPD=S_梯形OABC-S_△APB-S_△DPO-S_△BCD=8，（或S_△BPD=S_梯形OABD-S_△APB-S_△DPO=8），列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作BM⊥OC于M．

∵B（3，4），∠BCO=45°，∠BMD=90°，
∴OM=3，BM=4，∠MBD=∠MCB=45°，
∴MC=BM=4，OC=7，
A（0，4）、，C（7，0），
故答案為（0，4），（7，0）．

（2）①如圖2中，

設(shè)經(jīng)過t秒，⊙P與BC所在的直線相切于點(diǎn)F，連結(jié)PF，
∴∠PFB=90°，
∵AB∥OC，∠BCO=45°，
∴∠FBP=45°，
即：PF=FB=1，
由勾股定理可得：PB=$\sqrt{2}$，
∴t=OA+AB-PB=（7-$\sqrt{2}$）秒，
∴當(dāng)t為（7-$\sqrt{2}$）秒時，⊙P與BC所在的直線相切．

②如圖3中，當(dāng)P在OA上運(yùn)動時，0≤t＜4．

由S_△BPD=S_梯形OABC-S_△APB-S_△DPO-S_△BCD=8，
（或S_△BPD=S_梯形OABD-S_△APB-S_△DPO=8）得
$\frac{1}{2}$ （3+7）×4-$\frac{1}{2}$×3×（4-t）-$\frac{1}{2}$t（7-t）-$\frac{1}{2}$t×4=8，
整理，得t²-8t+12=0，解之得t₁=2，t₂=6（舍），
當(dāng)P在AB上運(yùn)動，4≤t＜7．
由S_△BPD=$\frac{1}{2}$×（7-t）×4=8，得t=3（舍），
∴當(dāng)t=2時，以B、P、R為頂點(diǎn)的三角形的面積為8．

點(diǎn)評 本題考查圓綜合題、矩形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識，學(xué)會利用分割法求三角形的面積，學(xué)會把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考壓軸題．