Question

如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，點P從點B開始沿BC邊以每秒1cm的速度向點C運動，點Q從點C開始沿CA邊以每秒2 cm的速度向點A運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交BC于點E．點P，Q分別從B，C兩點同時出發(fā)，當點Q運動到點A時，點Q、p停止運動，設它們運動的時間為x cm．
（1）當x=

 

秒時，射線DE經(jīng)過點C；
（2）當點Q運動時，設四邊形ABPQ的面積為ycm²，求y與x的函數(shù)關系式（不用寫出自變量取值范圍）；
（3）當點Q運動時，是否存在以P、Q、C為頂點的三角形與△PDE相似？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于DE垂直平分PQ，所以只要CP=CQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，DE又是頂角的平分線，所以列出方程，求出x=2．
（2）由于四邊形AQPB的形狀不規(guī)則，所以可以用△ABC的面積減去△PQC的面積，而△PQC的面積可以用x表達，則四邊形AQPB的面積也可以用x表達出來．
（3）假設存在，根據(jù)已知條件，易證△PQC∽△AMC，所以

QC

MC

=

PC

AC

，所以

2x

3

=

6-x

5

，即x=

18

13

．

解答：解：（1）x=2；
當DE經(jīng)過點C時，∵DE⊥PQ，PD=QD，
∴PC=CQ，PC=6-x，CQ=2x，
即6-x=2x，得x=2，
∴當x=2時，當DE經(jīng)過點C；

（2）分別過點Q、A作QN⊥BC，AM⊥BC垂足為M、N．
∵AB=AC=5cm，BC=6cm，
∴AM=

52-32

=4（cm），
∵QN∥AM，
∴△QNC∽△AMC，
∴

QN

AM

=

CQ

CA

，即

QN

4

=

2x

5

，
∴QN=

8

5

x，
又PC=6-x，
∴S_△PCQ=

1

2

PC•QN=

1

2

(6-x)•

8

5

x，
∴y=S_△ABC-S_△PCQ=

1

2

×6×4-

1

2

(6-x)•

8

5

x，
即y=

4

5

x2-

24

5

x+12；

（3）存在．
理由如下：
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥AC時△PQC∽△PDE
此時，△PQC∽△AMC
∴

QC

MC

=

PC

AC

即

2x

3

=

6-x

5

∴x=

18

13

．

點評：本題需先證得三角形相似和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，再通過相似形的性質(zhì)，解決問題，全面的考查了相似形的性質(zhì)和判定．