Question

4．已知反比例函數(shù)${y_1}=\frac{k}{x}$的圖象與一次函數(shù)y₂=2x+b  的圖象交于點(diǎn)A（1，4）和點(diǎn)B（m，-2）．
（1）求k，b及m的值；
（2）觀察圖象，直接寫(xiě)出y₁＞y₂時(shí)自變量x的取值范圍；
（3）若點(diǎn)C（4，n）在反比例函數(shù)的圖象上，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出k、b的值，再由點(diǎn)B的縱坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出m值；
（2）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系即可找出y₁＞y₂時(shí)自變量x的取值范圍；
（3）由點(diǎn)C的橫坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸，交直線AB于點(diǎn)D，根據(jù)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)S_△ABC=S_△ADC+S_△BDC即可求出△ABC的面積．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（1，4）在${y_1}=\frac{k}{x}$的圖象上，
∴4=$\frac{k}{1}$，
∴k=4；
∵點(diǎn)A（1，4）在y₂=2x+b的圖象上，
∴4=2×1+b，
∴b=2；
∵點(diǎn)B（m，-2）在${y_1}=\frac{4}{x}$的圖象上，
∴m=$\frac{4}{-2}$=-2．
（2）觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng) 0＜x＜1或x＜-2時(shí)，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方，
∴當(dāng) 0＜x＜1或x＜-2時(shí)，y₁＞y₂成立．
（3）在${y_1}=\frac{4}{x}$中令x=4可得y=1，
∴點(diǎn)C（4，1）．
過(guò)點(diǎn)C作CD∥x軸，交直線AB于點(diǎn)D，如圖所示．
在y₂=2x+2中令y=1得x=-$\frac{1}{2}$，
∴D（-$\frac{1}{2}$，1），
∴DC=4-（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{9}{2}$．
∴S_△ABC=S_△ADC+S_△BDC=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×3+$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{2}$×5=18．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)的問(wèn)題、一次（反比例）函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及待定系數(shù)法求一次（反比例）函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是：（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出一次（反比例）函數(shù)解析式；（2）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系解不等式；（3）將△ABC分割成△ADC和△BDC．