Question

如圖，在梯形AOBC中，AC∥OB，AO⊥OB，OA=4，OB=10，tan∠OBC是方程x²+x-1=0的一個(gè)根，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OA所在的直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過O、C、B三點(diǎn)的拋物線解析式；
（3）M是（2）中拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過M作x軸的平行線交（2）中的拋物線于另一點(diǎn)N（M在N左側(cè)）．問：是否存在點(diǎn)M使得以MN為直徑的圓正好與x軸相切？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，求此圓的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）過C點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為D，則CD=OA=4，解方程求tan∠OBC，在Rt△BCD中，解直角三角形求BD，OD=OB-BD，可求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)O、C、B三點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)交點(diǎn)式求拋物線解析式；
（3）存在，只要滿足MN的長(zhǎng)的一半等于M點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值即可．
解答：解：（1）過C點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為D，
∵AC∥OB，AO⊥OB，
∴CD=OA=4，
解方程x²+x-1=0得，x₁=，x₂=-2（舍去），
∴tan∠OBC=，
在Rt△BCD中，BD==8，
∴OD=OB-BD=10-8=2，
∴C（2，4）；

（2）∵O（0，0），B（10，0），
設(shè)拋物線解析式為y=ax（x-10），
將C（2，4）代入，得a×2×（2-10）=4，
解得a=-，
∴y=-x（x-10）=-x²+x；

（3）存在．
設(shè)M點(diǎn)縱坐標(biāo)為h，M、N的橫坐標(biāo)為x₁、x₂，
則-x²+x=h，即x²-10x+4h=0，
MN=x₂-x₁===，
當(dāng)h＞0時(shí)，=2h，解得h=-2+（舍去負(fù)值），
當(dāng)h＜0時(shí)，=-2h，解得h=-2-（舍去正值），
∴圓的半徑為=-2+或2+．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是通過作輔助線，解直角三角形求C點(diǎn)坐標(biāo)，確定拋物線解析式，再根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)解題．