Question

如圖，已知是AB是⊙O直徑，點P是AB延長線上一點，PC切⊙O于點C，PM平分∠CPA，交AC于點M，則∠CMP的度數(shù)是（　�。�

• A、30°
• B、45°
• C、60°
• D、不能確定

Answer 1

分析：連接OC，由OA=OC，根據(jù)“等邊對等角”得到∠A=∠OCA，又∠COP為△AOC的外角，根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和，可得到∠COP=2∠A，由PM為角平分線，得到∠CPO=2∠APM，再由CP為圓O的切線，根據(jù)切線性質(zhì)得到∠OCP=90°，故三角形COP的兩銳角之和為90°，等量代換可得∠A+∠APM=45°，觀察發(fā)現(xiàn)所求的角為三角形APM的外角，根據(jù)外角性質(zhì)即可求出度數(shù)．

解答：解：連接OC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，又∠COP為△AOC的外角，
∴∠COP=∠A+∠OCA=2∠A，
∵PM為∠CPO的平分線，
∴∠CPM=∠APM=

1

2

∠CPO，即∠CPO=2∠APM，
由PC切⊙O于點C，得到OC⊥PC，即∠OCP=90°，
∴∠COP+∠CPO=90°，
∴2∠A+2∠APM=2（∠A+∠APM）=90°，
∴∠A+∠APM=45°，
又∵∠CMP為△APM的外角，
∴∠CMP=∠A+∠APM=45°．
故選B

點評：此題考查了圓的切線性質(zhì)，及三角形的外角性質(zhì)．運用切線的性質(zhì)時，若已知切點，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題；若未知切點，則過圓心向切線作垂線，即可得半徑．根據(jù)角平分線定義及三角形的外角性質(zhì)，得到角之間的關(guān)系，利用轉(zhuǎn)化的思想達到解題的目的，是解本題的關(guān)鍵．