Question

m，n均為正整數，若關于x的方程4x²-2mx+n=0的兩個實數根都大于1，且小于2，求m，n的值．

Answer 1

設f（x）=4x²-2mx+n，
∵關于x的方程4x²-2mx+n=0有兩個實數根，
∴△=（2m）²-16n≥0，
∴m²≥4n，
∵此二次函數的開口向上，關于x的方程4x²-2mx+n=0的兩個實數根都大于1，且小于2（如草圖），
∴f（1）=4-2m+n＞0，f（2）=16-4m+n＞0，
設方程4x²-2mx+n=0兩根為x₁，x₂，
由韋達定理知：x₁+x₂=

m

2

，x₁x₂=

n

4

，
∵x₁，x₂都大于1，且小于2，
∴2＜

m

2

＜4，1＜

n

4

＜4，
∴4＜m＜8，4＜n＜16，
∵m，n均為正整數，
∴（1）當m=5，由m²-4n≥0，得n=5或6，但均不滿足4-2m+n＞0，
∴m≠5；
（2）當m=6，由m²-4n＞0得n=5，6，7，8，9，
∵n，5，6，7，8不滿足4-2m+n＞0，16-4m+n＞0，
∴n=9；
（3）當m=7，由m²-4n≥0得n=5，6，7，8，9，10，11，12．
∵n=5，6，7，8，9，10，11，12不滿足4-2m+n＞0，16-4m+n＞0，
∴此時無解；
∴m=6，n=9．