Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)t（t＞0）秒，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)P，已知矩形的三個(gè)頂點(diǎn)為A（1，0），B（1，-5），D（4，0）．當(dāng)4＜t＜5時(shí)，設(shè)拋物線分別與線段AB、CD交于點(diǎn)M、N．
（1）你認(rèn)為∠AMP的大小會(huì)隨點(diǎn)M位置的變化而變化嗎？若變化，說(shuō)明理由，若不變，求出∠AMP的大�。�    
（2）把△MPN的面積S用t表示出來(lái)．  
（3）若△MPN的面積S=

21

8

，求此時(shí)圖象過(guò)M、N兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式；若E是此時(shí)拋物線MN段上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)三角形MNE面積最大時(shí)，E點(diǎn)的坐標(biāo)是多少？（結(jié)果可直接寫(xiě)出）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)O、P的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出b、c的值，即可得到拋物線解析式，然后求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而得到AM=AP，然后求出∠AMP=45°不變；
（2）設(shè)CD與MP交點(diǎn)為Q，表示出MP的解析式，然后表示出QN，再根據(jù)S_△MNP=S_△MNQ+S_△PNQ列式整理即可得解；
（3）把S=

21

8

代入函數(shù)關(guān)系式求出t的值，再求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；用t表示出M、N的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線MN的解析式，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為x，過(guò)點(diǎn)E作EF∥y軸交MN于F，表示出EF的長(zhǎng)度，再利用三角形的面積表示出△MNE的面積，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答．

解答：解：（1）由題意得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），
∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)P，
∴

c=0 t2+bt+c=0

，
解答

b=-t c=0

，
∴拋物線解析式為y=x²-tx，
∵A（1，0），
∴x=1時(shí)，y=1-t，
∴AM=t-1，AP=t-1，
∴AM=AP，
∴∠AMP=45°是定值，∠AMP的大小不會(huì)隨點(diǎn)M位置的變化而變化；

（2）設(shè)CD與MP交點(diǎn)為Q，
易求直線MP的解析式為y=x-t，
∴NQ=（4-t）-（4²-4t）=3t-12，
∴S_△MNP=S_△MNQ+S_△PNQ，
=

1

2

（3t-12）×（t-1），
=

3

2

t²-

15

2

t+6，
即S=

3

2

t²-

15

2

t+6；

（3）S=

21

8

時(shí)，

3

2

t²-

15

2

t+6=

21

8

，
整理得，4t²-20t+9=0，
解得t₁=

1

2

（舍去），t₂=

9

2

，
x=1時(shí)，y=1²-

9

2

×1=-

7

2

，
x=4時(shí)，y=4²-

9

2

×4=-2，
∴M（1，-

7

2

），N（4，-2），
設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

k+b=- 7 2 4k+b=-2

，
解得

k= 1 2 b=-4

，
∴直線MN的解析式為y=

1

2

x-4；
∵點(diǎn)M、N在拋物線y=x²-tx圖象上，
∴點(diǎn)M（1，1-t），N（4，16-4t），
設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

k+b=1-t 4k+b=16-4t

，
解得

k=5-t b=-4

，
∴直線MN的解析式為y=（5-t）x-4，
如圖，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為x，過(guò)點(diǎn)E作EF∥y軸交MN于F，
則EF=（5-t）x-4-（x²-tx）=-x²+5x-4，
∴△MNE的面積=

1

2

EF•|y_N-y_M|=

1

2

（-x²+5x-4）×（4-1）=-

3

2

（x-

5

2

）²+

123

8

，
∵a=-

3

2

＜0，
∴x=

5

2

時(shí)，△MNE面積最大，
此時(shí)，y=（

5

2

）²-

5

2

t=

25

4

-

5

2

t，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

5

2

，

25

4

-

5

2

t）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，三角形的面積，以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題，（2）（3）兩問(wèn)把三角形的面積分成兩個(gè)三角形的面積的和列式整理是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．