Question

如圖，已知一次函數(shù)y₁=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y₂=-

4

x

的圖象交于A、B兩點(diǎn)、與y軸交于點(diǎn)P，且點(diǎn)A的縱坐標(biāo)和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)都是4，求：
（1）一次函數(shù)的解析式；
（2）△AOB的面積；
（3）并利用圖象指出，當(dāng)x為何值時(shí)有y₁＞y₂；當(dāng)x為何值時(shí)有y₁＜y₂；
（4）并利用圖象指出，當(dāng)-1＜x＜4時(shí)y₁的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，c），將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y₂=-

4

x

，求出a和c的值，在將所求得的A、B點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y₁=kx+b，求出一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)（1）中所求一次函數(shù)的解析式，計(jì)算出P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)求出△AOP的面積和△POB的面積，將二者相加即為△AOB的面積．
（3）由圖象直接解答即可；
（4）由圖象直接解答即可．

解答：解：（1）設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，4），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，c），
將A（a，4）代入y₂=-

4

x

得，
4=-

4

a

，a=-1，
則A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，4），
將B點(diǎn)的坐標(biāo)（4，c）代入y₂=-

4

x

得，
c=-

4

4

=-1，
則B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-1）．
將A（-1，4），B（4，-1）分別代入解析式得，

-k+b=4 4k+b=-1

，
解得，

k=-1 b=3

，
一次函數(shù)解析式為y₁=-x+3．

（2）∵一次函數(shù)解析式為y₁=-x+3，當(dāng)x=0時(shí)，y₁=3，可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
又∵A（-1，4），B（4，-1），
則S_△AOP=

1

2

×3×1=

3

2

，
S_△POB=

1

2

×3×4=6，
S_△AOB=

3

2

+6=

15

2

．

（3）由圖可知，y₁＞y₂時(shí)，x＜-1或0＜x＜4；
y₁＜y₂時(shí)，-1＜x＜0或x＞4．

（4）由圖可知，當(dāng)-1＜x＜4時(shí)-1＜y₁＜4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及函數(shù)圖象與不等式，綜合性較強(qiáng)，尤其要注意數(shù)形結(jié)合．