Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，CA是∠BCD的平分線，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，
（1）求證：三角形ADC為等腰三角形；
（2）求AC的長．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（（1）根據(jù)角平分線的定義可得，以及直線平行的性質(zhì)證明∠DAC=∠DCA，再根據(jù)等角對等邊可得證得；
（2）過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AE=

1

2

AC，根據(jù)兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似求出△ABC∽△EDC，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出BC，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．

解答：（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
又∵∠DCA=∠ACB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，即△ADC是等腰三角形；
（2）解：過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，則AE=CE=

1

2

AC，
∵∠1=∠2，∠BAC=∠DEC，
∴△ABC∽△EDC，
∴

CD

BC

=

CE

AC

，
即

6

BC

=

1

2

，
∴BC=12，
在直角△ABC中，AC=

BC2-AB2

=

122-42

=8

2

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理，作輔助線構(gòu)造出相似三角形并求出BC的長度是解題的關(guān)鍵．