Question

（1）討論關(guān)于x的方程|x+1|+|x+2|+|x+3|=a的根的個(gè)數(shù)．
（2）設(shè)a₁，a₂，…，a_n為等差數(shù)列，且|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=|a₁+1|+|a₂+1|+…+|a_n+1|=|a₁-2|+|a₂-2|+…+|a_n-2|=507，求項(xiàng)數(shù)n的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值

專題：

分析：（1）分別利用當(dāng)a＜2時(shí)，當(dāng)a=2時(shí)，當(dāng)a＞2時(shí)，求出即可；
（2）根據(jù)方程|x|=|x+1|=|x-2|無(wú)解，得出n≥2且公差不為0． 不妨設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為a-kd（1≤k≤n，d＞0），作函數(shù)f （x）=

n

k=1

|x=kd|，本題條件等價(jià)于f （x）=507至少有三個(gè)不同的根a，a+1，a-2，此條件又等價(jià)于函數(shù)y=f （x）的圖象與水準(zhǔn)直線y=507至少有三個(gè)不同的公共點(diǎn)，進(jìn)而結(jié)合圖象得出．

解答：解：（1）根據(jù)函數(shù)y=|x+1|+|x+2|+|x+3|=a的圖象可知：
當(dāng)a＜2時(shí)，方程無(wú)解；
當(dāng)a=2時(shí)，方程有一個(gè)根；
當(dāng)a＞2時(shí)，方程有兩個(gè)根．

（2）因?yàn)榉匠蘾x|=|x+1|=|x-2|無(wú)解，故n≥2且公差不為0． 不妨設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為a-kd（1≤k≤n，d＞0）．
作函數(shù)f （x）=

n

k=1

|x=kd|，
本題條件等價(jià)于f （x）=507至少有三個(gè)不同的根a，a+1，a-2，此條件又等價(jià)于函數(shù)y=f （x）的圖象與水準(zhǔn)直線y=507至少有三個(gè)不同的公共點(diǎn)．
由于y=f （x）的圖象是關(guān)于直線y=

(n+1)d

2

左右對(duì)稱的n+1段的下凸折線，它與水準(zhǔn)直線L有三個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)折線有一水準(zhǔn)段在L上，
當(dāng)且僅當(dāng)n=2m且a，a+1，a-2∈[md，（m+1）d]，f （md）=507．即d≥3且m²d=507．
由此得 m²≤

507

3

，解得：m≤13，
顯然，m=13時(shí)，取d=3，a=4滿足本題條件． 
因此，n的最大值為26．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了絕對(duì)值綜合，利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．