Question

如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，－4），與x軸交于點(diǎn)A，B，且B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）

（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P是AB上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AC，交BC于E，連接CP，求△PCE面積的最大值；
（3）若點(diǎn)D為OA的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上一點(diǎn)，且△OMD為等腰三角形，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）把點(diǎn)C（0，－4），B（2，0）分別代入中，
得，解得。
∴該拋物線的解析式為。
（2）令y=0，即，解得x₁=－4，x₂=2。
∴A（﹣4，0），S_△ABC=AB•OC=12。
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），則PB=2﹣x。
∵PE∥AC，∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA。∴△PBE∽△ABC。
∴，即，化簡(jiǎn)得：。
∴
。
∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，S_△PCE的最大值為3。
（3）△OMD為等腰三角形，可能有三種情形：
①當(dāng)DM=DO時(shí)，如圖①所示，

∵DO=DM=DA=2，
∴∠OAC=∠AMD=45°。∴∠ADM=90°。
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（－2，－2）。
②當(dāng)MD=MO時(shí)，如圖②所示，

過(guò)點(diǎn)M作MN⊥OD于點(diǎn)N，則點(diǎn)N為OD的中點(diǎn)，
∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，
又△AMN為等腰直角三角形，∴MN=AN=3。
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，－3）。
③當(dāng)OD=OM時(shí)，
∵△OAC為等腰直角三角形，
∴點(diǎn)O到AC的距離為×4=，即AC上的點(diǎn)與點(diǎn)O之間的最小距離為。
∵＞2，∴OD=OM的情況不存在。
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（－2，－2）或（－1，－3）。

（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。
（2）首先求出△PCE面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值。
（3）△OMD為等腰三角形，分DM=DO，MD=MO，OD=OM三種情況討論即可。