Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=

4

3

x+4分別交x軸，y軸于A，B兩點，點C為OB的中點，點D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形．
（1）直接寫出點A，B的坐標，并求直線AB與CD交點的坐標；
（2）動點P從點C出發(fā)，沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動；同時，動點M從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒

5

3

個單位長度的速度向終點B運動，過點P作PH⊥OA，垂足為H，連接MP，MH．設點P的運動時間為t秒．
①若△MPH與矩形AOCD重合部分的面積為1，求t的值；
②點Q是點B關于點A的對稱點，問BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相應的點P的坐標；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）讓y=0求得x的值可得A的坐標，（0，b）為B的坐標，讓y=

b

2

可得交點的縱坐標，代入直線解析式可得交點的橫坐標；
（2）由△AMN∽△ABO，得出△MPH的面積，再利用由△HPE∽△HFM，表示出△PEH的面積，即可得出答案．
（3）當點C，H，Q在同一直線上時，CH+HQ的值最小，利用平行四邊形的性質(zhì)得出即可．

解答：解：（1）A（-3，0），B（0，4）．（1分）
當y=2時，

4

3

x+4=2，x=-

3

2

．
所以直線AB與CD交點的坐標為(-

3

2

，2)．（2分）

（2）①當0＜t＜

3

2

時，△MPH與矩形AOCD重合部分的面積即△MPH的面積．
過點M作MN⊥OA，垂足為N．
由△AMN∽△ABO，得

AN

AO

=

AM

AB

．
∵AO=3，BO=4，
∴AB=

32+42

=5，
∴

AN

3

=

5 3 t

5

．
∴AN=t．（4分）
∴△MPH的面積為

1

2

×2(3-t-t)=3-2t．
當3-2t=1時，t=1．（5分）
當

3

2

＜t≤3時，設MH與CD相交于點E，
△MPH與矩形AOCD重合部分的面積即△PEH的面積．
過點M作MG⊥AO于G，MF⊥HP交HP的延長線于點F．
FM=AG-AH=AM×cos∠BAO-（AO-HO）=

5

3

t×

3

5

-(3-t)=2t-3．
HF=GM=AM×sin∠BAO=

5

3

t×

4

5

=

4

3

t．
由△HPE∽△HFM，得

PE

FM

=

HP

HF

．
∴

PE

2t-3

=

2

4 3 t

．
∴PE=

6t-9

2t

．（8分）
∴△PEH的面積為

1

2

×2×

6t-9

2t

=

6t-9

2t

．
當

6t-9

2t

=1時，t=

9

4

．
經(jīng)檢驗，t=

9

4

是原方程的解，
綜上所述，若△MPH與矩形AOCD重合部分的面積為1，t為1或

9

4

．（9分）
②BP+PH+HQ有最小值．
連接PB，CH，則四邊形PHCB是平行四邊形．
∴BP=CH．
∴BP+PH+HQ=CH+HQ+2．
當點C，H，Q在同一直線上時，CH+HQ的值最�。�（11分）
∵點C，Q的坐標分別為（0，2），（-6，-4），
∴直線CQ的解析式為y=x+2，
∴點H的坐標為（-2，0）．因此點P的坐標為（-2，2）．（12分）

點評：此題主要考查了相似三角形的應用以及平行四邊形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合進行分類討論是解決問題的關鍵，分析時注意不要漏解．