Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BD上一點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．求證：
（1）△ABE∽△FDE；
（2）AE²=EF•EG．

Answer 1

分析：（1）先由平行四邊形的定義得出AB∥CD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABE=∠FDE，∠EAB=∠EFD，然后根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似即可證明△ABE∽△FDE；
（2）先由△ABE∽△FDE，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出

AE

EF

=

BE

ED

①，再證明△BEG∽△DEA，得出

BE

ED

=

EG

AE

②，比較①②，可得

AE

EF

=

EG

AE

，則AE²=EF•EG．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE=∠FDE，∠EAB=∠EFD，
∴△ABE∽△FDE；

（2）由（1）知△ABE∽△FDE，
∴

AE

EF

=

BE

ED

①．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠GBE=∠ADE，∠G=∠DEA，
∴△BEG∽△DEA，
∴

BE

ED

=

EG

AE

②，
由①②可得，

AE

EF

=

EG

AE

，
∴AE²=EF•EG．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．