Question

11．如圖，△ABC中，AB=AC=2$\sqrt{5}$，BC=8，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，設(shè)△BDE的面積為S₁，四邊形ADEC的面積為S₂，則$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值等于$\frac{5}{27}$．

Answer 1

分析 過A作AE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BE=CE=4，由DE垂直平分AB，得到BD=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{5}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{{S}_{△BED}}{{S}_{△ABE}}$=（$\frac{BD}{BE}$）²=$\frac{5}{16}$，求得$\frac{{S}_{△BED}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{5}{32}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：過A作AE⊥BC于E，
∵AB=AC=2$\sqrt{5}$，BC=8，
∴BE=CE=4，
∵DE垂直平分AB，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{5}$，
∵∠BDE=∠AEB=90°，∠B=∠B，
∴△BED∽△ABE，
∴$\frac{{S}_{△BED}}{{S}_{△ABE}}$=（$\frac{BD}{BE}$）²=$\frac{5}{16}$，
∵S_△ABC=2S_△ABE，
∴$\frac{{S}_{△BED}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{5}{32}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{5}{27}$．
故答案為：$\frac{5}{27}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．