Question

已知：如圖，在△ABC中，BC=AC，以BC為直徑的⊙O與邊AB相交于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．
（1）求證：點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)；
（2）證明：DE是⊙O的切線(xiàn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接CD，由BC為直徑可知CD⊥AB，又BC=AC，由等腰三角形的底邊“三線(xiàn)合一”證明結(jié)論；
（2）連接OD，則OD為△ABC的中位線(xiàn)，OD∥AC，已知DE⊥AC，可證DE⊥OC，問(wèn)題得證．
解答：（1）證明：連接CD，
∵BC是圓的直徑，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
又∵AC=BC，
∴△ABC為等腰三角形，
∴AD=BD，即點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)；

（2）證明：連接OD，則DO是△ABC的中位線(xiàn)，
∴DO∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO，
∴DE是⊙O的切線(xiàn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是連接圓心和切點(diǎn)（有可能是要證明的切點(diǎn)）得垂直（證明垂直）．