Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-3，0）、（0，3）．
（1）一次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)P、Q在直線AB的同側(cè)，且直線PQ與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于3，若△PAB與△QAB的面積都等于3，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；
（2）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B，其頂點(diǎn)C在x軸的上方且在直線PQ上，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（3）若使（2）中所確定的拋物線的開口方向不變，頂點(diǎn)C在直線PQ上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C′時(shí)，拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)為6，求點(diǎn)C′的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由于PQ與y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)大于3，則P、Q同在直線AB的左側(cè)；可設(shè)P在x軸上，Q在y軸上，根據(jù)△PAB與△QAB的面積即可求出PA、QB的長(zhǎng)，由此可得到P、Q的坐標(biāo)，即可求出直線PQ的解析式；
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，根據(jù)B點(diǎn)的坐標(biāo)，可確定c的值，根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)可求出a、b的關(guān)系式；進(jìn)而可用a表示出拋物線的解析式，然后表示出頂點(diǎn)的坐標(biāo)，由于頂點(diǎn)在直線PQ上，可將其代入直線PQ的解析式中，即可求出待定系數(shù)a的值，由此可得到拋物線的解析式；
（3）可設(shè)C′的橫坐標(biāo)為m，根據(jù)直線PQ的解析式即可確定其縱坐標(biāo)，由此可得到平移后的函數(shù)解析式；進(jìn)而可求出其與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為6，可列出關(guān)于m的方程，進(jìn)而求出C′的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由已知，不妨設(shè)直線PQ與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為P、Q；
∵S_△QAB=3，即

1

2

BQ•AO=3，而AO=3，可求得BQ=2；
∵直線PQ與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于3，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，5）；
同樣可求得PA=2；
由于P、Q兩點(diǎn)在直線AB的同側(cè)，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-5，0）；
設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，則

-5k+b=0 b=5

，
解得

k=1 b=5

，
因此所求一次函數(shù)的解析式為y=x+5；（3分）

（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c；
∵二次函數(shù)的圖象過A（-3，0）、B（0，3）兩點(diǎn)，
∴9a-3b+c=0 ①，c=3 ②
將②代入①，
解得b=3a+1；
于是二次函數(shù)的解析式為y=ax²+（3a+1）x+3；（4分）
其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-

3a+1

2a

，

12a-(3a+1)2

4a

）；
∵點(diǎn)C在直線y=x+5上，
∴

12a-(3a+1)2

4a

=-

3a+1

2a

+5；
整理，得9a²+8a-1=0，
解這個(gè)方程，得a1=

1

9

，a₂=-1；
經(jīng)檢驗(yàn)a₁=

1

9

，a₂=-1都是原方程的根；（5分）
但拋物線的頂點(diǎn)C在x軸的上方，且過A、B兩點(diǎn)，
所以拋物線開口向下，將a=

1

9

舍去，取a=-1；
∴所求的二次函數(shù)的解析式為y=-x²-2x+3；（6分）

（3）解法一：設(shè)點(diǎn)C′的橫坐標(biāo)為m；
由于點(diǎn)C′在直線y=x+5上，可求出點(diǎn)C′的縱坐標(biāo)為m+5；
即點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（m，m+5）；
則運(yùn)動(dòng)后以C′為頂點(diǎn)的拋物線的解析式為
y=-（x-m）²+m+5；（7分）
設(shè)運(yùn)動(dòng)后的拋物線在對(duì)稱軸右側(cè)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀，
由已知，有x₀=m+3；
即拋物線與x軸一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（m+3，0）
∴0=-（m+3-m）²+m+5；
解得m=4；（8分）
∴m+5=9，于是點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（4，9）；（9分）
解法二：
同解法一求得以C′為頂點(diǎn)的拋物線的解析式為y=-（x-m）²+m+5；（7分）
即y=-x²+2mx-m²+m+5，
設(shè)這條拋物線與x軸的交點(diǎn)為（x₁，0）、（x₂，0）
∴x₁+x₂=2m，x₁•x₂=m²-m-5；
由已知|x₁-x₂|=6，
則（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=36，即（2m）²-4（m²-m-5）=36，
解得m=4；（8分）
∴m+5=9，于是點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（4，9）．（9分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形面積的求法、二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)圖象的平移、根與系數(shù)的關(guān)系等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大．