Question

已知二次方程x²-px+q=0的兩根為α、β，求
①以α³、β³為根的一元二次方程；
②若以α³、β³為根的一元二次方程仍是x²-px+q=0，求所有這樣的一元二次方程．

Answer 1

解：①∵方程x²-px+q=0的兩根為α、β，
∴α+β=p，αβ=q，
∴α³+β³=（α+β）（α²-αβ+β²）=（α+β）³-3αβ（α+β）=p³-3pq，
α³β³=（αβ）³=q³，
∴以α³、β³為根的一元二次方程為x²-（p³-3pq）x+q³=0；

②由題意，得，
由q³=q，得q=0，q=±1，
當(dāng)q=0時(shí)，p³=p，p=0，±1；
當(dāng)q=1時(shí)，p³=4p，p=0，±2；
當(dāng)q=-1時(shí)，p³=-2p，p=0．
∵當(dāng)p=0，q=1時(shí)，方程x²+1=0無實(shí)根，
∴滿足條件的方程有x²=0；x²-x=0；x²+x=0；x²-2x+1=0；x²+2x+1=0；x²-1=0．
分析：①欲求以α³、β³為根的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可知所求方程是x²-（α³+β³）x+α³β³=0．先由已知條件得出α+β=p，αβ=q，再運(yùn)用立方和公式、積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)用含p、q的代數(shù)式分別表示α³+β³，α³β³即可；
②由于①中所求方程即為x²-px+q=0，則得方程組，解此方程組，即可求出p、q的值，再舍去無實(shí)根的方程，從而求出問題的解．
點(diǎn)評：本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，立方和公式，積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，高次方程的解法．其中立方和公式，解高次方程屬于競賽題型，有一定難度．