【題目】在Rt△ABC中,∠BAC=90°,E,F分別是AB,AC上的點,且EF∥BC,作EG平分∠AEF交AC于點G,在EF上取點D,使ED=EA,連接DG并延長,交BA的延長于點P,連接PF.
(1)求證:PD⊥EF;
(2)若ED=DF,求∠B的大。
(3)在(2)的條件下,若四邊形AEDG的面積為S,請直接寫出△PEF的面積(用含S的式子表示).
【答案】(1)詳見解析;(2)60°;(3)S△PEF=3S.
【解析】
(1)由“SAS”可證△AEG≌△DEG,可得∠GAE=∠GDE=90°,可得PD⊥EF;
(2)由線段垂直平分線的性質可得EG=GF,可得∠GFE=∠GEF,由直角三角形的性質可求∠AEG=∠GEF=∠GFE=30°,由平行線的性質可求解;
(3)先證△PEF是等邊三角形,可證四邊形AEDG的面積=S△AEF=S△PEF,即可求解.
(1)∵EG平分∠AEF,
∴∠AEG=∠DEG,
在△AEG和△DEG中,
,
∴△AEG≌△DEG(SAS)
∴∠GAE=∠GDE=90°,
∴PD⊥EF;
(2)∵ED=DF,PD⊥EF,
∴EG=GF,
∴∠GFE=∠GEF,
∴∠AEG=∠GEF=∠GFE,
∵∠AEG+∠GEF+∠GFE=90°,
∴∠AEG=∠GEF=∠GFE=30°,
∴∠AEF=60°,
∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠B=60°
(2)∵ED=DF,PD⊥EF,
∴PE=PF,且∠PEF=60°,
∴△PEF是等邊三角形,
∵AF⊥AB,
∴AE=AP,
∴S△AEF=S△AFP,
∵∠BAC=90°,∠AEG=30°,
∴EG=2AG,
∴GF=2AG,
∴2S△AEG=S△EGF,
∵ED=DF,
∴S△GED=S△GFD,
∴S△GED=S△GFD=S△AEG,
∴四邊形AEDG的面積=S△AEF=S△PEF,
∴S△PEF=3S.
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【題目】規(guī)定兩數(shù)a、b之間的一種運算,記作(a,b):如果,那么(a,b)=c.
例如:因為,所以(2,8)=3.
(1)根據(jù)上述規(guī)定,填空:
(5,125)= ,(-2,4)= ,(-2,-8)= ;
(2)小明在研究這種運算時發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象:,他給出了如下的證明:
設,則,即
∴,即,
∴.
請你嘗試運用上述這種方法說明下面這個等式成立的理由.
(4,5)+(4,6)=(4,30)
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【題目】如圖,已知□ABCD中,AD=3cm,CD=1cm,∠B=45°,點P從點A出發(fā),沿AD方向勻速運動,速度為3cm/s;點Q從點C出發(fā),沿CD方向勻速運動,速度為1cm/s,連接并延長QP交BA的延長線于點M,過M作MN⊥BC,垂足是N,設運動時間為t(s)(0<t<1),解答下列問題:
(1)是否存在時刻t,使點P在∠BCD的平分線上;
(2)設四邊形ANPM的面積為S(cm),求S與t之間的函數(shù)關系式;
(3)是否存在某一時刻t,使四邊形ANPM與□ABCD面積相等,若存在,求出相應的t值,若不存在,說明理由;
(4)求t為何值時,△ABN為等腰三角形.
備用圖
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【題目】已知C為線段AB的中點,E為線段AB上的點,點D為線段AE的中點.
(1)若線段AB=a,CE=b,|a﹣17|+(b﹣5.5)2=0,求線段AB、CE的長;
(2)如圖1,在(1)的條件下,求線段DE的長;
(3)如圖2,若AB=20,AD=2BE,求線段CE的長.
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【題目】已知:,OB,OM,ON是內的射線.
如圖1,若OM平分,ON平分當射線OB繞點O在內旋轉時,______度
也是內的射線,如圖2,若,OM平分,ON平分,當繞點O在內旋轉時,求的大。
在的條件下,若,當在繞O點以每秒的速度逆時針旋轉t秒,如圖3,若::3,求t的值.
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【題目】如圖,在長方形ABCD中,點E在BC上,點F在CD上,且滿足BE=CF=a,AB=EC=b.
(1)判斷△AEF的形狀,并證明你的結論;
(2)請用含a,b的代數(shù)式表示△AEF的面積;
(3)當△ABE的面積為24,BC長為14時,求△ADF的面積.
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【題目】(1)如圖1,△ABC中,∠BAC=60°,內角∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O,則∠BOC=______;
(2)如圖2,△ABC中,∠BAC=60°,AD是△ABC的邊BC上的高,且∠B=∠1,求∠C的度數(shù).
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【題目】某電腦公司經銷甲種型號電腦,每臺售價4000元.為了增加收入,電腦公司決定再經銷乙種型號電腦.已知甲種電腦每臺進價為3500元,乙種電腦每臺進價為3000元,公司預計用不多于5萬元且不少于4.8萬元的資金購進這兩種電腦共15臺.
(1)有幾種進貨方案?
(2)如果乙種電腦每臺售價為3800元,為打開乙種電腦的銷路,公司決定每售出一臺乙種電腦,返還顧客現(xiàn)金a元,要使(2)中所有方案獲利相同,a值應是多少? 若考慮投入成本最低,則應選擇哪種進貨方案?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知將一矩形紙片ABCD折疊,使頂點A與C重合,折痕為EF.
(1)求證:CE=CF;
(2)若AB =8 cm,BC=16 cm,連接AF,寫出求四邊形AFCE面積的思路.
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