Question

如圖所示，AB=2

5

，tan∠ABC=2，cos∠ACB=

3

5

．
①求過A、B、C三點的二次函數(shù)解析式；
②若D是AB的中點，試判斷點D在這條二次函數(shù)的圖象上嗎？并說明理由；
③若y隨x的增大而減小，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：①根據(jù)∠ABC的正切值，可得到OA、OB的比例關(guān)系，用未知數(shù)表示出OA、OB的長，進而可在Rt△OAB中，利用勾股定理求出OA、OB的值，從而得到A、B的坐標；同理可在Rt△OAC中求出C點的坐標，進而可利用待定系數(shù)法求得該拋物線的解析式．
②根據(jù)A、B的坐標，易得D點的坐標，將其代入拋物線的解析式中進行驗證即可．
③求二次函數(shù)的增減性，可從兩方面考慮：1、拋物線的開口方向，2、拋物線的對稱軸方程．
結(jié)合本題，將二次函數(shù)解析式化為頂點坐標式，即可得拋物線的對稱軸方程，由于此拋物線的開口向下，因此在對稱軸右側(cè)的函數(shù)圖象，y隨x的增大而減小．

解答：解：①設(shè)OB=x，則OA=2OB=2x；
Rt△OAB中，由勾股定理得：OA²+OB²=AB²，
即x²+4x²=20，解得x=2；
∴OB=2，OA=4，同理可得OC=3；
故：A（0，4），B（-2，0），C（3，0），
∴y=-

2

3

x2+

2

3

x+4．

②∵D是AB的中點，
∴D（-1，2）；
∵2≠-

2

3

×(-1)2+

2

3

×(-1)+4，
∴點D一在這條二次函數(shù)的圖象上．

③∵y=-

2

3

(x-

1

2

)2+

25

6

，a=-

2

3

＜0開口向下，
∴當x＞

1

2

時，y隨x的增大而減�。�

點評：此題主要考查了解直角三角形、二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)的增減性等知識，屬于基礎(chǔ)題，需要熟練掌握．