Question

猜想歸納：為了建設經濟型節(jié)約型社會，“先鋒”材料廠把一批三角形廢料重新利用，因此工人師傅需要把它們截成不同大小的正方形鐵片．
（1）如圖①，若截取△ABC的內接正方形DEFG，請你求出此正方形的邊長；
（2）如圖②，若在△ABC內并排截取兩個相同的正方形（它們組成的矩形內接于△ABC），請你求此正方形的邊長；
（3）如圖③，若在△ABC內并排截取三個相同的正方形（它們組成的矩形內接于△ABC），請你求此正方形的邊長；

（4）猜想：如圖④，假設在△ABC內并排截取n個相同的正方形，使它們組成的矩形內接于△ABC，則此正方形的邊長是多少？
（已知：AC=40，BC=30，∠C=90°）

Answer 1

解：（1）在圖1中作△ABC的高CN交GF于M，
在Rt△ABC中，∵AC=40，BC=30，∴AB=50，CN=24．
由GF∥AB，得△CGF∽△CAB，
∴．
設正方形的邊長為x，則，
解得．
即正方形的邊長為．

（2）方法同（1），如圖2．
△CGF∽△CAB，則．
設小正方形的邊長為x，
則，
解得．
即小正方形的邊長為．

（3）在圖3中，作CN⊥AB，交GF于點M，交AB于點N，
∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，
∴=，
設每個正方形的邊長為x，
則=，
∴x=；

（4）設每個正方形的邊長為x，同理得到：
則=，
則x=．
∴每個小正方形的邊長為．
分析：（1）根據題意畫出圖形，作CN⊥AB，再根據GF∥AB，可知△CGF∽△CAB，由平行得到兩對同位角相等，進而得到兩三角形相似，設出正方形的邊長為x，根據相似三角形的性質得到比例式，進而列出關于x的方程，求出方程的解，即可求出正方形的邊長；
（2）作CN⊥AB，交GF于點M，交AB于點N，同（1）可知，△CGF∽△CAB，根據對應邊的比等于相似比，同理可求出正方形的邊長；
（3）作CN⊥AB，交GF于點M，交AB于點N，同（1）可知，△CGF∽△CAB，根據對應邊的比等于相似比，同理可求出正方形的邊長；
（4）同理可得正方形的邊長．
點評：此題綜合考查了正方形、矩形、相似三角形的性質及勾股定理．要求學生掌握相似三角形的對應高之比等于相似比，注意此題雖有四問，但是方法雷同，只是比例式中GF代入的式子不同，應根據圖形正方形的個數來確定．