Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°．請(qǐng)完成以下任務(wù)．

（1）尺規(guī)作圖：①作∠A的平分線，交CB于點(diǎn)D；

②過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為點(diǎn)E．請(qǐng)保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，并標(biāo)明字母．

（2）若AC=3，BC=4，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①作圖見(jiàn)解析；②作圖見(jiàn)解析；（2）CD=．

【解析】

（1）①按作角平分線的步驟（以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與角的兩邊各有一個(gè)交點(diǎn)，分別以這兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)距離的一半為半徑畫(huà)弧，兩弧在角內(nèi)交于一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A以及這個(gè)交點(diǎn)作射線即可）進(jìn)行作圖即可得；

②根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)作直線的垂線的方法（以點(diǎn)D為圓心，以大于點(diǎn)D到直線AB的距離為半徑畫(huà)弧，與AB交于兩點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)的距離的一半畫(huà)弧，兩弧交于一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D以及這個(gè)交點(diǎn)畫(huà)直線即可）進(jìn)行作圖即可得；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AB的長(zhǎng)，根據(jù)作圖可知DE=DC，∠AED=∠C=90°，再根據(jù)S△ACD+S△ABD=S△ABC，列式計(jì)算即可得答案.

（1）如圖所示：①AD是∠A的平分線；

②DE是AB的垂線；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：

AB==5，

由作圖過(guò)程可知：DE=DC，∠AED=∠C=90°，

∵S△ACD+S△ABD=S△ABC，

∴ACCD+ABDE=ACBC，

∴×3×CD+×5×CD=×3×4，

解得：CD=．