Question

如圖1，連接△ABC的各邊中點(diǎn)得到一個(gè)新的△A₁B₁C₁，又連接△A₁B₁C₁的各邊中點(diǎn)得到△A₂B₂C₂，如此無限繼續(xù)下去，得到一系列三角形：△ABC，△A₁B₁C₁，△A₂B₂C₂，…
已知A（0，0），B（3，0），C（2，2）．

（1）求這一系列三角形趨向于一個(gè)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）如圖2，分別求出經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線解析式和經(jīng)過A₁，B₁，C₁三點(diǎn)的拋物線解析式；
（3）設(shè)兩拋物線的交點(diǎn)分別為E、F，連接EF、EC₁、FC₁、EC₂、FC₂、C₁C₂，問：C₂與△EC₁F的關(guān)系是什么？
（4）如圖3，問：A，A₂，C，C₂四點(diǎn)可不可能在同一條拋物線上，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）由圖可知點(diǎn)M應(yīng)該是△ABC的重心，可依據(jù)平面直角坐標(biāo)系中，三角形重心的坐標(biāo)是三角形三頂點(diǎn)的算術(shù)平均數(shù)來求出重心M的坐標(biāo)；
（2）可先根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和中位線定理求出A₁、B₁、C₁三點(diǎn)坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法分別求出兩條拋物線的解析式；
（3）由于拋物線同時(shí)過E、F兩點(diǎn)，可聯(lián)立（2）中兩個(gè)拋物線的解析式，然后得出一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，求出的兩個(gè)解便是E、F點(diǎn)的坐標(biāo)．然后求出C₂的坐標(biāo)，如果C2的橫坐標(biāo)大于或小于△EFC₁的所有頂點(diǎn)橫坐標(biāo)，則說明C₂在△EFC1外，如果不是這樣，則E、F和C₁坐標(biāo)都知道了，則根據(jù)兩點(diǎn)式方程求出△EFC₁三邊所在直線的方程，將C2的橫坐標(biāo)分別代入這三個(gè)直線方程，
①如果求出的結(jié)果全大于或小于C₂的縱坐標(biāo)，則說明C₂在△EFC₁外；
②如果求出的結(jié)果中有一至兩個(gè)等于C₂的縱坐標(biāo)，則說明C₂在△EFC₁的邊上，甚至頂點(diǎn)上；
③如果求出的結(jié)果不全大于或小于C₂的縱坐標(biāo)，則說明C₂在△EFC₁內(nèi)．
（4）先用三點(diǎn)的坐標(biāo)確定一個(gè)拋物線的解析式，然后將剩下的一點(diǎn)代入拋物線中即可判斷出四點(diǎn)是否在同一拋物線上．

解答：解：（1）由題意可知：M點(diǎn)的坐標(biāo)為（

0+3+2

3

，

0+0+2

3

），
即M（

5

3

，

2

3

）；

（2）設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x-0）（x-3），
則有：2=a×（2-0）×（2-3），解得a=-1，
因此過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=-x²+3x，
可求得A₁、B₁、C₁的坐標(biāo)分別為A₁（

5

2

，1），B₁（1，1），C₁（

3

2

，0），
設(shè)過這三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，則有：

25 4 a+ 5 2 b+c=1 a+b+c=1 9 4 a+ 3 2 b+c=0

解得：

a=2 b=-7 c=6

即A₁，B₁，C₁三點(diǎn)的拋物線解析式為y=2x²-7x+6；

（3）根據(jù)題意有：2x²-7x+6=-x²+3x
即3x²-10x+6=0
解得x=

5+ 7

3

，x=

5- 7

3

由于E在F點(diǎn)左側(cè)，
因此E（

5- 7

3

，

13+19 7

9

），F(xiàn)（

5+ 7

3

，

13- 7

9

）
由題意可知C₂的坐標(biāo)為（

7

4

，1）
然后將C₂的坐標(biāo)代入△EFC₁三邊所在的直線中，可得出C₂在△EFC₁外；

（4）A，A₂，C，C₂四點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：（0，0），（

5

4

，0）（2，2）（

7

4

，1），
設(shè)過A、A₂、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=m（x-0）（x-

5

4

），
則有2=m×（2-0）×（2-

5

4

），m=

4

3

，
因此拋物線的解析式為：y=

4

3

x²-

5

3

x…①
將C₂點(diǎn)的坐標(biāo)代入①中可得：

4

3

×

49

16

-

7

4

×

5

3

=

14

12

≠1
因此：A，A₂，C，C₂四點(diǎn)不可能在同一條拋物線上．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、中位線定理、三角形重心等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)．能力要求高．考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．