Question

如圖，直線y=x與雙曲線y=

4

x

在第一象限的交點(diǎn)為點(diǎn)A，將直線沿y軸向下平移使其經(jīng)過雙曲線上的點(diǎn)B（a，1），且交y軸于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及直線BC的解析式；
（2）求四邊形AOCB面積；
（3）在x軸上確定點(diǎn)P，使△ABP是以AB為直角邊的直角三角形．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立直線解析式及雙曲線的解析式解出交點(diǎn)，從而得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)BC的解析式為y=x+b，然后代入點(diǎn)B的坐標(biāo)即可得出直線BC的解析式；
（2）分別表示出S_{四邊形AOCB}、S_梯形BEDC、S_△ADO、S_△AEB，繼而根據(jù)S_{四邊形AOCB}=S_梯形BEDC-S_△ADO-S_△AEB可得出答案．
（3）分兩種情況討論，①當(dāng)∠PAB=90°時(shí)，②當(dāng)∠PBA=90°時(shí)，分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A在直線y=x和雙曲線y=

4

x

上，
∴

y=x y= 4 x

，
解得：

x1=2 x2=2

或

x2=-2 y2=-2

，
∵點(diǎn)A在第一象限，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），
∵點(diǎn)B（a，1）在雙曲線y=

4

x

上，
∴1=

4

a

，
解得：a=4，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，1），
∵直線BC由直線y=x平移得到，
∴設(shè)BC的解析式為y=x+b，
將點(diǎn)B（4，1）代入，得b=-3，
∴直線BC的解析式為y=x-3．
（2）作AD⊥y軸于點(diǎn)D，BE⊥AD于點(diǎn)，可得直角梯形BEDC，

故可得點(diǎn)D（0，2），點(diǎn)E（4，2），點(diǎn)C（0，-3），EB=1，DC=5，DE=4，DA=2，DO=2，AE=2，
S_梯形BEDC=

1

2

（EB+DC）×DE=

1

2

×（1+5）×4=12，
S_△ADO=

1

2

AD×DO=

1

2

×2×2=2，
S_△AEB=

1

2

AE×EB=

1

2

×2×1=1，
故可得S_{四邊形AOCB}=S_梯形BEDC-S_△ADO-S_△AEB=12-2-1=9．
（3）由點(diǎn)A（2，2），點(diǎn)B（4，1）可得直線AB：y=-

1

2

x+3，直線與x軸的交點(diǎn)G（6，0），
①當(dāng)∠PAB=90°時(shí)，作AQ⊥x軸于點(diǎn)Q，可得OQ=2，AQ=2，QG=4，

則PQ•QG=AQ²，即PQ×4=2²，
故PQ=1，OP=OQ-PQ=2-1=1，
從而可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）；
②當(dāng)∠PBA=90°時(shí)，作BH⊥x軸于點(diǎn)H，可得OH=4，BH=1，HG=2，

則PH×HG=BH²，即PH×2=1²，
故PH=

1

2

，OP=OH-PH=4-

1

2

=

7

2

，
從而可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

7

2

，0）；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、梯形及三角形的面積，難點(diǎn)在第三問，注意分類討論，不要漏解，需要同學(xué)們將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通．