Question

已知拋物線y=x²+bx+1的頂點(diǎn)在x軸上，且與y軸交于A點(diǎn)．直線y=kx+m經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4）．
（1）求拋物線的解析式，并判斷點(diǎn)B是否在拋物線上；
（2）如果點(diǎn)B在拋物線上，P為線段AB上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P與A、B不重合），過P作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E，設(shè)線段PE的長h，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，當(dāng)x為何值時，h取得最大值，求出這時的h值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線y=x²+bx+1的頂點(diǎn)在x軸上，即可得y=x²+bx+1=（x±1）²，即可得拋物線的解析式為y=x²-2x+1或y=x²+2x+1，然后將B（3，4）代入函數(shù)解析式即可確定B是否在拋物線上；
（2）由直線y=kx+m經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，即可得直線AB的解析式，設(shè)P、E兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y_P和y_E．由PE=h=y_P-y_E，即可得當(dāng)x為何值時，h取得最大值．
解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+1的頂點(diǎn)在x軸上，
∴y=x²+bx+1=（x±1）²．
∴b=±2．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x+1或y=x²+2x+1．（2分）
將B（3，4）代入y=x²-2x+1，左=右，
∴點(diǎn)B在拋物線y=x²-2x+1上．
將B（3，4）代入y=x²+2x+1，左≠右，
∴點(diǎn)B不在拋物線y=x²+2x+1上．（3分）

（2）∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，4）．
∵直線y=kx+m，A、B兩點(diǎn)，
∴．
∴．
∴y=x+1．（4分）
∵點(diǎn)B在拋物線y=x²-2x+1上．
設(shè)P、E兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y_P和y_E．
∴PE=h=y_P-y_E
=（x+1）-（x²-2x+1）
=-x²+3x．
即h=-x²+3x（0＜x＜3）．（6分）
∴當(dāng)x=-=時，h有最大值，
最大值為y=-（）²+3×=．（7分）
點(diǎn)評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)與點(diǎn)的關(guān)系以及二次函數(shù)的最值問題．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．