Question

已知△ABC為等邊三角形，AB=6，P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與A、B不重合），過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線與BC相交于點(diǎn)D，以點(diǎn)D為正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，在△ABC內(nèi)作正方形DEFG，其中D、E在BC上，F(xiàn)在AC上，
（1）設(shè)BP的長(zhǎng)為x，正方形DEFG的邊長(zhǎng)為y，寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；
（2）當(dāng)BP=2時(shí)，求CF的長(zhǎng)；
（3）△GDP是否可能成為直角三角形？若能，求出BP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）在△BDP中，根據(jù)已知條件得BD=2x，在△CEF中，根據(jù)已知條件得EC=

3

3

，得y關(guān)于x的函數(shù)解析式．再求出x的定義域．
（2）BP=2，根據(jù)（2）得到的y關(guān)于x的函數(shù)解析式求出CF的長(zhǎng)．
（3）假設(shè)△GDP是直角三角形，得△APF是直角三角形，得PF的x、y的函數(shù)解析式．再把（2）得到的關(guān)于x、y的函數(shù)解析式代入PF的函數(shù)解析式中，得到BP的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=6．（1分）
∵DP⊥AB，BP=x，
∴BD=2x．（1分）
又∵四邊形DEFG是正方形，
∴EF⊥BC，EF=DE=y，
∴EC=

3

3

y．（1分）
∴2x+y+

3

3

y=6，（2分）
∴y=(

3

-3)x+9-3

3

．（1分）
（6-3

3

≤x＜3）（1分）

（2）當(dāng)BP=2時(shí)，y=(

3

-3)×2+9-3

3

=3-

3

．（1分）
CF=

2y

3

=2

3

-2．（1分）

（3）△GDP能成為直角三角形．（1分）
①∠PGD=90°時(shí)，
6-x=

3

y+y，6-x=(

3

+1)•[(

3

-3)x+9-3

3

]，
得到：x=

30-6 3

11

．（2分）
②∠GPD=90°時(shí)，G在AB上，參照（1）．

點(diǎn)評(píng)：此題是一個(gè)綜合性很強(qiáng)的題目，主要考查等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、三角形相似、函數(shù)等知識(shí)．
難度很大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們鉆研和探索問(wèn)題的精神．