證明：如圖，連接ON，OF，設(shè)正方形CDMN的邊長為a，正方形DEFG的邊長為b，
則OE=
，OC=
，而OD=OC-CD=DE-OE
∴有：
-a=b-
得到：
+
=a+b
兩邊平方得：R
2-a
2+2
•
+R
2-b
2=a
2+2ab+b
2整理得：
•
=a
2+b
2+ab-R
2兩邊再次平方得：R
4-（a
2+b
2）R
2+a
2b
2=（a
2+b
2+ab）
2-2（a
2+b
2+ab）R
2+R
4，
整理得：a
2+b
2=R
2．
所以兩個(gè)正方形的面積之和為一定值，這個(gè)值就是R
2．
分析：分別設(shè)出兩個(gè)正方形的邊長，連接ON，OF，在直角三角形中運(yùn)用勾股定理表示CO，OE的長，把這兩邊的長與正方形的邊長聯(lián)系，得到等量關(guān)系，然后把得到的定理關(guān)系通過兩邊平方化簡(jiǎn)，求出兩個(gè)正方形的面積的和．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，連接ON，OF，得到兩個(gè)直角三角形，根據(jù)勾股定理用二次根式表示OE，OC的長，然后由正方形的邊長找到等量關(guān)系，通過兩次兩邊平方確定根號(hào)，得到兩個(gè)正方形的面積和與半徑R的關(guān)系，確定兩個(gè)正方形的面積和是一定值．
如圖，AB是半徑為R的圓O的直徑，四邊形CDMN和DEFG都是正方形．其中C，D，E在AB上，F(xiàn)，N在半圓上．求證：兩個(gè)正方形的面積之和為一定值．
培優(yōu)三好生系列答案
優(yōu)化作業(yè)上�？萍嘉墨I(xiàn)出版社系列答案
如圖，
如圖，
如圖，AB是半徑為R的圓O的直徑，四邊形CDMN和DEFG都是正方形．其中C，D，E在AB上，F(xiàn)，N在半圓上．求證：兩個(gè)正方形的面積之和為一定值．
如圖，AB是半徑為10的⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，且CD=2．求弦AB的長．