Question

27、計算：
（1）（x-1）（x+1）=x²-1，
（x-1）（x²+x+1）=x³-1，
（x-1）（x³+x²+x+1）=

x⁴-1

，
…
猜想：（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x²+x+1）=

xⁿ⁺¹-1

．
（2）根據(jù)以上結(jié)果，試寫出下列各式的結(jié)果．（x-1）（x⁴⁹+x⁴⁸+…+x²+x+1）=

x⁵⁰-1

．
（3）由以上情形，你能求出下面的式子的結(jié)果嗎？（x²⁰-1）÷（x-1）=

x¹⁹+x¹⁸+…+x²+x+1

．若能求，直接寫出結(jié)果；若不能求，請說明理由．

Answer 1

分析：根據(jù)題中所給的式子可以發(fā)現(xiàn)右側(cè)都是x的n次方減1的形式，且右側(cè)的次數(shù)比左側(cè)最高次數(shù)大1．

解答：解：根據(jù)分析，可得
（1）（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x²+x+1）=xⁿ⁺¹-1；

（2）（x-1）（x⁴⁹+x⁴⁸+…+x²+x+1）=x⁵⁰-1；

（3）（x²⁰-1）÷（x-1）=（x¹⁹+x¹⁸+…+x²+x+1）（x-1）÷（x-1）=x¹⁹+x¹⁸+…+x²+x+1．

點評：本題是一道找規(guī)律的題目，要求學生的通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．根據(jù)題中所給的材料獲取所需的信息和解題方法是需要掌握的基本技能．