Question

已知：如圖，直線y=-

3

x+4

3

與x軸相交于點A，與直線y=

3

x相交于點P．
（1）求點P的坐標；
（2）請判斷△OPA的形狀并說明理由；
（3）動點E從原點O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著O、P、A的路線向點A勻速運動（E不與點O，A重合），過點E分別作EF⊥x軸于F，EB⊥y軸于B，設運動t秒時，矩形EBOF與△OPA重疊部分的面積為S．
求：①S與t之間的函數關系式．②當t為何值時，S最大，并求出S的最大值．

Answer 1

（1）由題意可得：

y=- 3 x+4 3 y= 3 x

，
解得

x=2 y=2 3

，
所以點P的坐標為（2，2

3

）；

（2）將y=0代入y=-

3

x+4

3

，-

3

x+4

3

=0，
∴x=4，即OA=4，
作PD⊥OA于D，則OD=2，PD=2

3

，
∵tan∠POA=

2 3

2

=

3

，
∴∠POA=60°，
∵OP=

22+(2 3 )2

=4，
∴△POA是等邊三角形；

（3）①當0＜t≤4時，如圖，在Rt△EOF中，
∵∠EOF=60°，OE=t，
∴EF=

3

2

t，OF=

1

2

t，
∴S=

1

2

•OF•EF=

3

8

t²．
當4＜t＜8時，如圖，設EB與OP相交于點C，
∵CE=PE=t-4，AE=8-t，
∴AF=4-

1

2

t，EF=

3

2

（8-t），
∴OF=OA-AF=4-（4-

1

2

t）=

1

2

t，
∴S=

1

2

（CE+OF）•EF=

1

2

（t-4+

1

2

t）×

3

2

（8-t），
=-

3

8

3

t²+4

3

t-8

3

；
②當0＜t≤4時，S=

3

8

t2，t=4時，S_最大=2

3

；
當4＜t＜8時，S=-

3

8

3

t²+4

3

t-8

3

=-

3

8

3

（t-

16

3

）²+

8

3

3

，
t=

16

3

時，S_最大=

8

3

3

．
∵

8

3

3

＞2

3

，
∴當t=

16

3

時，S最大，最大值為

8

3

3

．