Question

已知：拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)A是拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)，試在軸上確定一點(diǎn)P，使PA+PB最短，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)A作AC∥BP交軸于點(diǎn)C，求到直線AP、AC、CP距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵ 拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),
∴ ="0." 解得.
∵ ，∴  ∴ …1分
∴ .  ………………………….2分
（2）令，得=0，
解得.  ∴ ………..3分
∴點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
聯(lián)結(jié)，直線與軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P.

可求得直線的解析式：. ∴ ……………………………4分
（3）到直線AP、AC、CP距離相等的點(diǎn)有四個(gè)．
如圖，由勾股定理得，所以△PAC為等邊三角形．
易證軸所在直線平分∠PAC，BP是△PAC的一個(gè)外角的平分線．作∠PCA的平分線，交軸于點(diǎn)，交過(guò)A點(diǎn)的平行線于y軸的直線于點(diǎn)，作△PAC的∠PCA相鄰?fù)饨堑钠椒志�，交于點(diǎn)，反向延長(zhǎng)C交軸于點(diǎn)．可得點(diǎn)就是到直線AP、AC、CP距離相等的點(diǎn)．可證△AP 、△AC、 △PC均為等邊三角形．可求得：①，所以點(diǎn)M₁的坐標(biāo)為；…………5分
②，所以點(diǎn)M₂的坐標(biāo)為；………………………………....6分③點(diǎn)M₃與點(diǎn)M₂關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)M₃的坐標(biāo)為；………………..…..7分
④點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．
綜上所述，到直線AP、AC、CP距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,,．…………………………….. 8分解析:
略