Question

已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c的開(kāi)口方向和形狀都與拋物線(xiàn)y=

1

2

x²+3相同，它的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=-2，它與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，求：
（1）一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個(gè)根；
（2）該拋物線(xiàn)的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn),待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）利用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=-2，它與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，可確定拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0）、（-1，0），
，然后根據(jù)拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題即可得到一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個(gè)根；
（2）由于已知拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可是交點(diǎn)式，再根據(jù)拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c的開(kāi)口方向和形狀都與拋物線(xiàn)y=

1

2

x²+3相同得到a=

1

2

，從而即可得到所求拋物線(xiàn)的解析式．

解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=-2，它與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，
∴拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0）、（-1，0），
∴一元二次方程ax²+bx+c=0的兩個(gè)根為x₁=-3，x₂=-1；
（2）設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x+3）（x+1），
∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c的開(kāi)口方向和形狀都與拋物線(xiàn)y=

1

2

x²+3相同，
∴a=

1

2

，
∴拋物線(xiàn)解析式為y=

1

2

（x+3）（x+1）=

1

2

x²+2x+

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系：△=b²-4ac決定拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．