Question

半徑為2cm的與⊙O邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD在水平直線l的同側(cè)，⊙O與l相切于點(diǎn)F，DC在l上．

（1）過(guò)點(diǎn)B作的一條切線BE，E為切點(diǎn)．

①填空：如圖1，當(dāng)點(diǎn)A在⊙O上時(shí)，∠EBA的度數(shù)是　30°　；

②如圖2，當(dāng)E，A，D三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求線段OA的長(zhǎng)；

（2）以正方形ABCD的邊AD與OF重合的位置為初始位置，向左移動(dòng)正方形（圖3），至邊BC與OF重合時(shí)結(jié)束移動(dòng)，M，N分別是邊BC，AD與⊙O的公共點(diǎn)，求扇形MON的面積的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：

圓的綜合題．

分析：

（1）①根據(jù)切線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)得出∠EBA的度數(shù)即可；

②利用切線的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)得出=，進(jìn)而求出OA即可；

（2）設(shè)∠MON=n°，得出S_扇形MON=×2²=n進(jìn)而利用函數(shù)增減性分析①當(dāng)N，M，A分別與D，B，O重合時(shí)，MN最大，②當(dāng)MN=DC=2時(shí)，MN最小，分別求出即可．

解答：

解：（1）①∵半徑為2cm的與⊙O邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD在水平直線l的同側(cè)，當(dāng)點(diǎn)A在⊙O上時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作的一條切線BE，E為切點(diǎn)，

∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，

∴∠EBA的度數(shù)是：30°；

②如圖2，

∵直線l與⊙O相切于點(diǎn)F，

∴∠OFD=90°，

∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，

∴OF∥AD，

∵OF=AD=2，

∴四邊形OFDA為平行四邊形，

∵∠OFD=90°，

∴平行四邊形OFDA為矩形，

∴DA⊥AO，

∵正方形ABCD中，DA⊥AB，

∴O，A，B三點(diǎn)在同一條直線上；

∴EA⊥OB，

∵∠OEB=∠AOE，

∴△EOA∽△BOE，

∴=，

∴OE²=OA•OB，

∴OA（2+OA）=4，

解得：OA=﹣1±，

∵OA＞0，∴OA=﹣1；

方法二：

在Rt△OAE中，cos∠EOA==，

在Rt△EOB中，cos∠EOB==，

∴=，

解得：OA=﹣1±，

∵OA＞0，∴OA=﹣1；

方法三：

∵OE⊥EB，EA⊥OB，

∴由射影定理，得OE²=OA•OB，

∴OA（2+OA）=4，

解得：OA=﹣1±，

∵OA＞0，

∴OA=﹣1；

（2）如圖3，設(shè)∠MON=n°，S_扇形MON=×2²=n（cm²），

S隨n的增大而增大，∠MON取最大值時(shí)，S_扇形MON最大，

當(dāng)∠MON取最小值時(shí)，S_扇形MON最小，

過(guò)O點(diǎn)作OK⊥MN于K，

∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK，

在Rt△ONK中，sin∠NOK==，

∴∠NOK隨NK的增大而增大，∴∠MON隨MN的增大而增大，

∴當(dāng)MN最大時(shí)∠MON最大，當(dāng)MN最小時(shí)∠MON最小，

①當(dāng)N，M，A分別與D，B，O重合時(shí)，MN最大，MN=BD，

∠MON=∠BOD=90°，S_{扇形MON最大}=π（cm²），

②當(dāng)MN=DC=2時(shí)，MN最小，

∴ON=MN=OM，

∴∠NOM=60°，

S_{扇形MON最小}=π（cm²），

∴π≤S_扇形MON≤π．

故答案為：30°．

點(diǎn)評(píng)：

此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和函數(shù)增減性等知識(shí)，得出扇形MON的面積的最大值與最小值是解題關(guān)鍵．