Question

如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點(diǎn)A，交⊙O于點(diǎn)P，點(diǎn)B是⊙O 上一點(diǎn)，連接BP并延長(zhǎng)，交直線l于點(diǎn)C，使得AB=AC．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若PC=2

5

，OA=5，求⊙O的半徑和線段PB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OB，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB，∠OBP=∠OPB，求出∠ABC+∠OBP=90°，根據(jù)切線的判定推出即可．
（2）延長(zhǎng)AO交⊙O于D，連接BD，設(shè)⊙O半徑為R，則AP=5-R，OB=R，根據(jù)勾股定理得出方程5²-R²=（2

5

）²-（5-R）²，求出R即可．求出AC=AB=4，△DBP∽△CAP，得出

CP

PD

=

AP

BP

，代入求出BP即可．

解答：（1）證明：
連接OB，
∵OA⊥直線l，
∴∠PAC=90°，
∴∠APC+∠ACP=90°，
∵AB=AC，OB=OP，
∴∠ABC=∠ACB，∠OBP=∠OPB，
∵∠BPO=∠APC，
∴∠ABC+∠OBP=90°，
∴OB⊥AB，
∵OB過(guò)O，
∴AB是⊙O的切線；

（2）解：
延長(zhǎng)AO交⊙O于D，連接BD，
設(shè)⊙O半徑為R，則AP=5-R，OB=R，
在Rt△OBA中，AB²=5²-R²，在Rt△APC中，AC²=（2

5

）²-（5-R）²，
∵AB=AC，
∴5²-R²=（2

5

）²-（5-R）²，
解得：R=3，
即⊙O半徑為3，
則AC=AB=4，
∵PD為直徑，OA⊥直線l，
∴∠DBP=∠PAC，
∵∠APC=∠BPD，
∴△DBP∽△CAP，
∴

CP

PD

=

AP

BP

，
∴

2 5

6

=

2

BP

，
∴PB=

6 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．