Question

如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD是∠ACB的平分線，過A，C，D三點的圓與斜邊BC交于點E，連接DE．
（1）求證：AC=EC；
（2）若AC=，△ACD外接圓的半徑為1，求△ABC的面積．

Answer 1

（1）證明：∵∠BAC=90°，
∴∠DEC=∠BAC=90°，
又∵CD是∠ACB的平分線，
∴∠ACD=∠ECD．
∴∠ADC=∠EDC．
∴．
∴AC=EC．

（2）解：∵∠BAC=90°，CD=2，AC=，
∴AD=1．
∴∠ACD=∠ECD=30°，
∴∠ACB=60°．
在Rt△ABC中，AB=AC•tan60°=3，
又∵AC=，
∴S_△ABC=×3×=．
分析：（1）可通過證∠ADC=∠EDC，根據等弧所對的圓周角與弦相等，來得出AC=EC，已知了CD平分∠ACE，那么∠ACD=∠ECD，由于CD是直徑，因此∠DAC=∠DEC=90°，那么通過等角的余角相等即可得∠ADC=∠EDC．也就得出了弧AC=弧CE，進而可得出AC=EC的結論．
（2）可先在直角三角形ACD中，根據AC和CD的長，用余弦函數求出∠ACD的度數，也就求出了∠ACB的度數，可在直角三角形ABC中，根據正切函數求出AB的長，有了兩直角邊的長，三角形ABC的面積也就求出來了．
點評：本題主要考查了等弧所對的圓周角和弦的關系以及解直角三角形等知識點．