Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，CB=4，D是線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合）BD=x，過(guò)D作DE⊥AC，DF⊥BC．
（1）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)M時(shí)，線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度是______．
（2）設(shè)四邊形DECF的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，CB=4，
∴AB=5，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四邊形DECF是矩形，
當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)M時(shí)，
則DF=AC=，DE=BC=2，
∴EF==2.5，

（2））∵在Rt△ABC中，∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，BC=4，AC=3，
∴△DBF∽△ABC，
∴，
∴，
∴DF=x，
同理：DE=（5-x），
∴S與x的函數(shù)關(guān)系式=DE•DF=x（5-x）=x-x²，

（3）由（2）得：s=-（x-2.5）²+，
∴當(dāng)x=時(shí)，s有最大值為1.5．
分析：（1）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)M時(shí)，則DF，DE是三角形ABC的中位線(xiàn)，長(zhǎng)度可求出利用勾股定理即可求出EF的長(zhǎng)；
（2）用x表示出DE和DF的長(zhǎng)，根據(jù)矩形的面積公式即可求出S與x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）利用求出的二次函數(shù)表達(dá)式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，就可得出面積s最大時(shí)x的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、二次函數(shù)的最值．關(guān)鍵在于根據(jù)相似三角形及已知條件求出相關(guān)線(xiàn)段的表達(dá)式，求出二次函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式畫(huà)出圖象后，即可求出結(jié)論．