Question

（2007•岳陽(yáng)）已知：等腰Rt△ABC中，∠A=90°，
（1）如圖1，E為AB上任意一點(diǎn)，以CE為斜邊作等腰Rt△CDE，連接AD，則有AD∥BC；
（2）若將等腰Rt△ABC改為正△ABC，如圖2所示，E為AB邊上任一點(diǎn)，△CDE為正三角形，連接AD，上述結(jié)論還成立嗎？答______；
（3）若△ABC為任意等腰三角形，AB=AC，如圖3，E為AB上任一點(diǎn)，△DEC∽△ABC，連接AD，請(qǐng)問(wèn)AD與BC的位置關(guān)系怎樣？答：______．
請(qǐng)你在上述3個(gè)結(jié)論中，任選一個(gè)結(jié)論進(jìn)行證明．

Answer 1

【答案】分析：欲證AD∥BC，可以根據(jù)等腰直角三角形，正三角形，等腰三角形的性質(zhì)，證明△ACD∽△BCE，再證明AD與BC的內(nèi)錯(cuò)角相等，得出結(jié)論．
解答：解：（1）∵△ABC和△DEC是等腰直角三角形，
∴△ABC∽△DEC，∠ACB=∠DCE=45°．
∴=，∠DCA=∠ECB．
∴△ACD∽△BCE．
∴∠DAC=∠EBC=45°．
∴∠DAC=∠ACB．
∴AD∥BC．

（2）∵△ABC和△DEC是正三角形，
∴△ABC∽△DEC，∠ACB=∠DCE=60°．
∴=，∠DCA=∠ECB．
∴△ACD∽△BCE．
∴∠DAC=∠EBC=60°．
∴∠DAC=∠ACB．
∴AD∥BC．
成立．

（3）∵△ABC和△DEC是等腰直角三角形，△ABC∽△DEC，
∴∠ACB=∠DCE．
∴=，∠DCA=∠ECB．
∴△ACD∽△BCE．
∴∠DAC=∠EBC．
∴∠DAC=∠ACB．
∴AD∥BC．
點(diǎn)評(píng)：觀察測(cè)量，然后進(jìn)行推理證明，是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)的基本規(guī)律．本題考查了等腰直角三角形，正三角形，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定．注意證明方式相同．