已知拋物線y＝ax2＋2x＋3(a≠0)有如下兩個特點：①無論實數(shù)a怎樣變化，其頂點都在某一條直線l上；②若把頂點的橫坐標(biāo)減少，縱坐標(biāo)增大分別作為點A的橫、縱坐標(biāo)；把頂點的橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)增加分別作為點B的橫、縱坐標(biāo)，則A，B兩點也在拋物線y＝ax2＋2x＋3(a≠0)上．

(1)求出當(dāng)實數(shù)a變化時，拋物線y＝ax2＋2x＋3(a≠0)的頂點所在直線l的解析式；

(2)請找出在直線上但不是該拋物線頂點的所有點，并說明理由；

(3)你能根據(jù)特點②的啟示，對一般二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋x(a≠0)提出一個猜想嗎？請用數(shù)學(xué)語言把你的猜想表達出來，并給予證明．

答案：
解析：

　　解：(1)取，得拋物線，

　　其頂點為．

　　取，得拋物線，

　　其頂點為．

　　由題意有在直線上，設(shè)直線的解析式為

　　，則

　　解得：

　　∴直線的解析式為．

　　(2)∵拋物線的頂點P坐標(biāo)為．

　　顯然P在直線上．

　　又能取到除0以外的所有實數(shù)，

　　∴在上僅有一點(0，3)不是該拋物線的頂點．

　　(3)猜想：對于拋物線，將其頂點的橫坐標(biāo)減少，縱坐標(biāo)增加分別作為點A的橫、縱坐標(biāo)；把頂點的橫坐標(biāo)增加，縱坐標(biāo)增加分別作為點B的橫、縱坐標(biāo)，則A，B兩點也在拋物線上．

　　證明如下：

　　∵拋物線的頂點坐標(biāo)為()，

　　∴點A的坐標(biāo)為，

　　點B的坐標(biāo)為．

　　∵時，

　　∴點A在拋物線，

　　同理有B也在拋物線上，故結(jié)論成立．


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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a＞0)經(jīng)過點B(12，0)和C(0，－6)，對稱軸為x＝2．

(1)求該拋物線的解析式．

(2)點D在線段AB上且AD＝AC，若動點P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個單位長度的速度勻速運動，同時另一個動點Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運動，問是否存在某一時刻，使線段PQ被直線CD垂直平分？若存在，請求出此時的時間t(秒)和點Q的運動速度；若存在，請說明理由．

(3)在(2)的結(jié)論下，直線x＝1上是否存在點M，使△MPQ為等腰三角形？若存在，請求出所有點M的坐

標(biāo)；若存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過點A(0，3)、B(4，3)、C(1，0)．
【小題1】填空：拋物線的對稱軸為直線x＝______，拋物線與x軸的另一個交點D的坐標(biāo)為______；
【小題2】求該拋物線的解析式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸為x＝1，且拋物線經(jīng)過A（—1，0）、C（0，—3）兩點，與x軸交于另一點B．
（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在拋物線的對稱軸x＝1上求一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，并求出此時點M的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點P為拋物線的對稱軸x＝1上的一動點，求使∠PCB＝90°的點P的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2012屆山東鄒城北宿中學(xué)九年級3月月考數(shù)學(xué)試卷（帶解析） 題型：解答題

已知拋物線y＝ax2＋bx－4a經(jīng)過A(－1，0)、C(0，4)兩點，與x軸交于另一點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D(m，m＋1)在第一象限的拋物線上, 求點D關(guān)于直線BC對稱的點的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，連結(jié)BD，若點P為拋物線上一點，且∠DBP＝45°，求點P的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011年浙江省嵊州市九年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）

如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A（－1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）。設(shè)拋物線的頂點為D，求解下列問題：

1.（1）求拋物線的解析式和D點的坐標(biāo)；

2.（2）過點D作DF∥軸，交直線BC于點F，求線段DF的長，并求△BCD的面積；

3.（3）能否在拋物線上找到一點Q，使△BDQ為直角三角形？若能找到，試寫出Q點的坐標(biāo)；若不能，請說明理由。

 

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