Question

如圖，在半徑為6cm的圓中，弦AB長6cm，試求弦AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)弦AB在優(yōu)弧上所對(duì)的圓周角為∠P，劣弧上所對(duì)的圓周角為∠P′，連接OA，OB，過O點(diǎn)作OC⊥AB，垂足為C，由垂徑定理可知AC=AB=3，解直角三角形得∠AOC的度數(shù)，由垂徑定理可知，∠AOB=2∠AOC，由圓周角定理得∠P=∠AOB，利用∠P與∠P′的互余關(guān)系求∠P′．
解答：解：如圖，設(shè)弦AB在優(yōu)弧上所對(duì)的圓周角為∠P，劣弧上所對(duì)的圓周角為∠P′，
連接OA，OB，過O點(diǎn)作OC⊥AB，垂足為C，
由垂徑定理，得AC=AB=3，
在Rt△AOC中，OA=6，sin∠AOC===，
解得∠AOC=60°，
所以，∠AOB=2∠AOC=120°，
根據(jù)圓周角定理，得∠P=∠AOB=60°，
又APBP′為圓內(nèi)接四邊形，
所以，∠P′=180°-∠P=120°，
故弦AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)為60°或120°
點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理，解直角三角形的運(yùn)用．關(guān)鍵是連接半徑，將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，解直角三角形求圓心角，再求圓周角，注意弦所對(duì)的圓周角有兩個(gè)，它們互補(bǔ)．