Question

如圖，已知直線y=3x﹣3分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)（與A點(diǎn)不重合）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）求△ABC的面積；
（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)M，使△ABM為等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵直線y=3x﹣3分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，
∴可得A（1，0），B（0，﹣3），
把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=x²+bx+c得：，解得：。
∴拋物線解析式為：y=x²+2x﹣3。
（2）令y=0得：0=x²+2x﹣3，解得：x₁=1，x₂=﹣3。
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣3，0），AC=4，
∴S_△ABC=AC×OB=×4×3=6。
（3）存在。
易得拋物線的對稱軸為：x=﹣1，假設(shè)存在M（﹣1，m）滿足題意，
根據(jù)勾股定理，得。
分三種情況討論：
①當(dāng)AM=AB時(shí)，，解得：。
∴M₁（﹣1，），M₂（﹣1，）。
②當(dāng)BM=AB時(shí)，，解得：M₃=0，M₄=﹣6。
∴M₃（﹣1，0），M₄（﹣1，﹣6）。
③當(dāng)AM=BM時(shí)，，解得：m=﹣1。
∴M₅（﹣1，﹣1）。
綜上所述，共存在五個(gè)點(diǎn)使△ABM為等腰三角形，坐標(biāo)為M₁（﹣1，），M₂（﹣1，），M₃（﹣1，0），M₄（﹣1，﹣6），M₅（﹣1，﹣1）。

試題分析：（1）根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，可得出b、c的值，求出拋物線解析式。
（2）由（1）求得的拋物線解析式，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，繼而求出AC的長度，代入三角形的面積公式即可計(jì)算。
（3）根據(jù)點(diǎn)M在拋物線對稱軸上，可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，m），分三種情況討論，①AM=AB，②BM=AB，③AM=BM，求出m的值后即可得出答案。