Question

如圖所示，已知O為正三角形ABC的高AD、BE、CF的交點(diǎn)，P是△ABC所在平面上的任一點(diǎn)，作PL⊥AD于L，PM⊥BE于M，PN⊥CF于N．試證：PL、PM、PN中較大的一條線段等于其它兩條線段的和．

Answer 1

分析：因?yàn)轭}設(shè)中有正三角形和垂直的條件，由PL⊥AD，PN⊥CF知P、L、O、N、四點(diǎn)共圓，同理P、L、N、M四點(diǎn)共圓，因此P、L、O、N、M五點(diǎn)共圓，再求出△LMN為正三角形即可得出結(jié)論．

解答：解：∵PL⊥AD，PN⊥CF知P、L、O、N、四點(diǎn)共圓．
同理P、L、N、M四點(diǎn)共圓，
∴P、L、O、N、M五點(diǎn)共圓．
∵O既是正△ABC的垂心，又是△ABC的內(nèi)心，
∴∠AOE=∠COE=60°，
再由共圓的條件得到∠MNL=∠LON=60°，∠MLN=∠MON=60°．
∴∠MNL=∠MLN=60°，
∴△LNM是等邊三角形，
∵點(diǎn)P是劣弧LM上一點(diǎn)，
∴PN=PL+PM．

點(diǎn)評：本題考查的是四點(diǎn)共圓的條件及等邊三角形的性質(zhì)，此題綜合性較強(qiáng)，難度較大．