在直角坐標系XOY中,O為坐標原點,A,B,C三點的坐標分別為A(5,0),B(0,4),C(-1,0).點M和點N在x軸上(點M在點N的左邊),點N在原點的右邊,作MP⊥BN,垂足為P(點P在線段BN上,且點P與點B不重合),直線MP與y軸相交于點G,MG=BN.
(1)求經(jīng)過A,B,C三點的拋物線的表達式;
(2)求點M的坐標;
(3)設(shè)ON=t,△MOG的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍;
(4)過點B作直線BK平行于x軸,在直線BK上是否存在點R,使△ORA為等腰三角形?若存在,請直接寫出點R的坐標,若不存在,請說明理由.
分析:(1)已知了A、B、C的坐標,可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(2)由于M點的位置不確定,因此可分兩種情況:
①M在x軸負半軸,可通過證△BON≌△MOG,得出OM=OB,據(jù)此可求出M點的坐標.
②M在x軸正半軸,同①;
(3)根據(jù)②的全等三角形可得出ON=OG=t,而OM=4,可根據(jù)三角形的面積公式得出關(guān)于S,t的函數(shù)關(guān)系式;
(4)存在5個符合條件的R點,如圖:
解答:解:(1)設(shè)所求拋物線的表達式為:y=ax
2+bx+c(a≠0)
由題意,得
解得
所以所求的表達式為y=-
x
2+
x+4;
(2)依題意,分兩種情況:
①當點M在原點的左邊(如圖1)時,
在Rt△BON中,∠1+∠3=90°
因為MP⊥PN,所以∠2+∠3=90°,
所以∠1=∠2
在Rt△BON和Rt△MOG中,
所以Rt△BON≌Rt△MOG
所以O(shè)M=OB=4.所以M點的坐標為(-4,0);
②當點M在原點的右邊(如圖2)時,同理可證OM=OB=4.此時M點的坐標為(4,0).
(3)圖1中,Rt△BON≌Rt△MOG,所以O(shè)G=ON=t.
所以S=
OM•OG=
•4•t=2t(其中0<t<4).
圖2中,同理可得S=2t,其中t>4.
所以所求的函數(shù)關(guān)系式為S=2t,
t的取值范圍為t>0且t≠4;
(4)存在點R,使△ORA為等腰三角形,
其坐標為:R
1(-3,4),R
2(3,4),R
3(2,4),R
4(
,4),R
5(8,4).
點評:本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、三角形全等、等腰三角形的構(gòu)成等重要知識點,綜合性強,考查學生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法.