Question

如圖，將含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）繞其直角頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α解（0°＜α＜90°），得到Rt△ADE，AD與BC相交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥DE交AE于點(diǎn)N，連接NC，設(shè)BC=4，BM=x，△MNC的面積為S_△MNC，△ABC的面積為S_△ABC。

（1）求證：△MNC是直角三角形；
（2）試求用x表示S_△MNC的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）以點(diǎn)N為圓心，NC為半徑作⊙N，
①當(dāng)直線AD與⊙N相切時(shí)，試探求S_△MNC與S_△ABC之間的關(guān)系；
②當(dāng)S_△MNC=S_△ABC時(shí)，試判斷直線AD與⊙N的位置關(guān)系，并說明理由。

Answer 1

解：（1）MN∥DE，
∴，
又∵AD=AB，AE=AC，
∴，
又∵∠BAM=∠CAN，
∴△ABM∽△ACN，
∴∠B=∠NCA，
∴∠NCA+∠ACB=∠B+∠ACB=90°，
∴∠MCN=90°，即△MNC是直角三角形；
（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=4，
∴AC=2，AB=2，
∴△ABM∽△ACN，
∴，
∴，
∴；
（3）①直線AD與⊙N相切時(shí)，則AN=NC，
∵△ABM∽△ACN，
∴，
∴AM=MB，
∵∠B=30°，
∴∠α=30°，∠AMC=60°，
又∵∠ACB=90°-30°=60°，
∴△AMC是等邊三角形，
∴AM=MC=BM=2，
∴，
又∵，
∴；
②當(dāng)時(shí)，
∴則有，解得x=1或x=3；
（i）當(dāng)x=1時(shí)，在Rt△MNC中，MC=4-x=3，
∴，
在Rt△AMN中，∠AMN=30°，
∴，
∵，即AN＞NC，
∴直線AD與⊙相離；
（ii）當(dāng)x=3時(shí)，同理可求出，NC=，MC=1，MN=2，AN=1，
∴NC＞AN，
∴直線AD與⊙相交。